留数写像 - 第2kame日記

まず記号の確認。

$\displaystyle \Omega_X^1(U)$	$U$ 上の正則1形式の集合。	正則関数 $f$ により局所的に $f(z)dz$ の形に表される。
$\displaystyle \mathcal{A}_X^{1,0}(U)$	$U$ 上の $C^{\infty}$ 級(1,0)形式の集合。	$C^{\infty}$ 級関数 $f$ により局所的に $f(z)dz$ の形に表される。
$\displaystyle \mathcal{A}_X^{2}(U)$	$U$ 上の $C^{\infty}$ 級2形式の集合。	$C^{\infty}$ 級関数 $f$ により局所的に $f(z)dz\wedge d\overline{z}$ の形に表される。

次の層の系列は完全列となる：
$\displaystyle 0 \longrightarrow \Omega_X^1 \longrightarrow^{\imath} \mathcal{A}_X^{1,0} \longrightarrow^{d} \mathcal{A}_X^{2} \longrightarrow 0$
( $\imath$ は包含写像、 $d$ は外微分)

上の確認。
層の系列が完全であることの定義は、ストークの系列が完全であることだった(5章)。したがって以下の系列の完全性を示せばよい：

$\displaystyle 0 \longrightarrow \Omega_{X,P}^1 \longrightarrow^{\imath_P} \mathcal{A}_{X,P}^{1,0} \longrightarrow^{d_P} \mathcal{A}_{X,P}^{2} \longrightarrow 0$

ストークの定義であるが、以下のとおりであった：

$\displaystyle \Omega_{X,P}^1 := \bigsqcup_{U\in \mathcal{U}_{p}}\Omega_{X}^1(U)/\sim$

$\displaystyle \mathcal{A}_{X,P}^{1,0} := \bigsqcup_{U\in \mathcal{U}_{p}}\mathcal{A}_{X}^{1,0}(U)/\sim$

$\displaystyle \mathcal{A}_{X,P}^{2} := \bigsqcup_{U\in \mathcal{U}_{p}}\mathcal{A}_{X}^{2}(U)/\sim$

$\displaystyle 0 \longrightarrow \Omega_{X,P}^1 \longrightarrow^{\imath_P} \mathcal{A}_{X,P}^{1,0}$
の部分の完全性は、 ${\imath_P}$ が単射であることを示せばよい。 $[f],[g] \in \Omega_{X,P}^1$ が $\imath_P([f])=\imath_P([g])$ を満たしているとする。この式の意味は、 $[\imath(f)]=[\imath(g)]$ ということ、すなわち点 $P$ の十分小さな近傍 $U$ があってその上で $f=g$ を意味する。 $U$ 上 $f,g$ は正則だから、 $\Omega_{X,P}^1$ の元として $[f]=[g]$ が成立。すなわち ${\imath_P}$ は単射//

$\displaystyle \mathcal{A}_{X,P}^{1,0} \longrightarrow^{d_P} \mathcal{A}_{X,P}^{2} \longrightarrow 0$
の部分の完全性はDolbeaultの補題による。

$\displaystyle \Omega_{X,P}^1 \longrightarrow^{\imath_P} \mathcal{A}_{X,P}^{1,0} \longrightarrow^{d_P} \mathcal{A}_{X,P}^{2}$
の部分の完全性は、 $\mathrm{Im}\imath_P = \mathrm{Ker}d_P$ を示せばよい。
まず $\mathrm{Im}\imath_P \subset \mathrm{Ker}d_P$ の確認：
$\eta \in \mathrm{Im}\imath_P$ とする。 $P$ の十分小さな近傍 $U$ 上で $\omega \in \Omega_X^1(U)$ があって $[\imath(\omega)] = [\omega] = \eta$ である。 $U$ の局所座標を $z$ とすると $U$ 上の正則関数 $f$ を使って $\omega = f(z)dz$ と表せる。したがって
$\displaystyle \begin{eqnarray} d_P(\eta) &= &d_P([\omega])=[d(f(z)dz)]=[df\wedge dz] \\ &= &[$\frac{\partial f}{\partial z}dz + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}d\bar{z}$\wedge dz]= [\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}d\bar{z} \wedge dz] = 0 \end{eqnarray}$
∴ $\eta \in \mathrm{Ker}d_P$ 。よって $\mathrm{Im}\imath_P \subset \mathrm{Ker}d_P$ 。

逆に $\mathrm{Im}\imath_P \supset \mathrm{Ker}d_P$ を確認する。
$\eta \in \mathrm{Ker}d_P$ とする。 $\eta$ は $P$ の近傍 $U$ 上で $C^{\infty}$ 級関数 $f$ によって $\eta=f(z)dz$ と書ける。
$\displaystyle 0 = d_P\eta=[d(f(z)dz)]=[\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}d\bar{z}\wedge dz]$
ゆえに $U$ 上で $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$ (Cauchy-Riemann)より $f$ は $U$ 上の正則関数。よって $f(z)dz \in \Omega_X^1(U)$ 。このときこの $f$ で決まる $[f(z)dz] \in \Omega_{X,P}^1$ に対して
$\displaystyle \imath_P$[f(z)dz]$ = \eta$
より $\eta \in \mathrm{Im}\imath_P$ 。よって $\mathrm{Im}\imath_P \supset \mathrm{Ker}d_P$ 。