セールの双対定理の証明(5)

昨日定義した $\alpha_n \in H^0(X,\Omega_X(-D_n))$ と $\varphi_n:=f_n^{-1}\circ\imath_{D_n}(\alpha_n) \in H^0(X,\mathcal{O}_X(nP))$ を使って

$\alpha := \frac{\alpha_n}{\varphi_n}$

と定義する。このとき実は、

$\displaystyle \alpha \in H^0(X,\Omega_X(-D))$
$\displaystyle \lambda = \imath_{D}(\alpha)$

となっている。これが証明できると $\imath_{D}$ が全射であり、コンパクトリーマン面に対するセールの双対定理の証明が完了したことになる。

$\alpha \in H^0(X,\Omega_X(-D))$ とは $\mathrm{div}(\alpha)-D\ge 0$ が成り立つことなので、まずは $\mathrm{div}(\alpha)$ を計算してみるところから始まる。

$A := $\varphi_n$_0, B := $\varphi_n$_{\infty}$ とおくと $\mathrm{div}(\varphi_n) = A - B$ と書け、 $A,B \ge 0$ である。また $\alpha_n \in H^0(X,\Omega^1_{X}(-D_n))$ より $\mathrm{div}(\alpha_n) -D_n \ge 0$ 、 $\mathrm{div}(\alpha_n) \ge D_n$ 。したがって

$\displaystyle \begin{eqnarray} \mathrm{div}(\alpha) &=& \mathrm{div}(\frac{\alpha_n}{\varphi_n}) \\ &=& \mathrm{div}(\alpha_n) - \mathrm{div}(\varphi_n) \\ &\ge& D_n - ( A - B ) \\ &=& D_n - A + B \\ &\ge& D_n - A \\ &=& D - nP - A \\ &=& D - (nP + A) \\ &=& D - C \\ &=& - (-(D - C)) \end{eqnarray}$

ただし $C = nP + A$ とおいた。これは効果的因子( $C \ge 0$ )。

上式より $\mathrm{div}(\alpha) + (-(D - C)) \ge 0$ すなわち

$\displaystyle \alpha \in H^0(X, \Omega^1_{X}(-(D - C))$

である。

第5章で確認したように因子 $D-C, D$ に関して

$\displaystyle 0 \rightarrow D-C \rightarrow D \rightarrow S \rightarrow 0$

という短完全系列ができた。これから

$\displaystyle H^1(X,\mathcal{O}_X(D-C)) \rightarrow^{\tau} H^1(X,\mathcal{O}_X(D)) \rightarrow H^1(X,S)$

という完全系列が誘導されるが、ここで $S$ は摩天楼層だったから $H^1(X,S) = 0$ 。
したがって上の $\tau: H^1(X,\mathcal{O}_X(D-C)) \to H^1(X,\mathcal{O}_X(D))$ は全射。
線形代数の基本的な定理より、 $\tau$ の双対写像 ${}^t \tau$ は単射となる：

$\displaystyle {}^{t}\tau: H^1(X,\mathcal{O}_X(D))^{*} \longrightarrow^{\text{1:1}} H^1(X,\mathcal{O}_X(D-C))^{*}$

$\displaystyle \begin{array} H^0(X,\Omega^1(-D)) & & H^0(X,\Omega^1(-(D-C))) \\ {}_{\imath_D} \downarrow\text{1:1} & & \text{1:1}\downarrow {}_{\imath_{D-C}} \\ H^1(X,\mathcal{O}(D))^* & \longrightarrow^{{}^t\tau}_{\text{1:1}} & H^1(X,\mathcal{O}(D-C))^* \end{array}$

上図より $\imath_{D-C} = {}^t\tau \circ \imath_D$ となる。そこでこの両辺による $\alpha = \frac{\alpha_n}{\varphi_n}\in H^0(X, \Omega^1_{X}(-(D - C))$ の像を計算すると、左辺の像は $\imath_{D-C}(\alpha)$ であり、右辺の像は、

$\displaystyle \begin{eqnarray} {}^t\tau \circ \imath_D (\alpha) &= & {}^t\tau \circ \imath_D(\frac{\alpha_n}{\varphi_n}) \\ &=& {}^t\tau $\frac{\imath_D(\alpha_n)}{\varphi_n}$ \\ &=& {}^t\tau $\frac{\varphi_n \lambda}{\varphi_n}$ \\ &=& {}^t\tau( \lambda) \end{eqnarray}$

この等式 $\imath_{D-C}(\alpha) = {}^t\tau( \lambda)$ は後で利用する。