カップ積 - 第2kame日記

もうしばらく準備がつづく。

$\displaystyle \cup: H^0(X,\Omega_{X}^{1}(-D)) \times H^1(X, \mathcal{O}_{X}(D)) \ni $\alpha, (\beta_{ij}) $ \mapsto $\alpha \beta_{ij}$ \in H^1(X, \Omega_{X}^{1})$

上はカップ積と呼ばれる双一次写像の定義。
定義の意味を確認しておく。

まず $\alpha \in H^0(X,\Omega_{X}^{1}(-D))$ について。
$\displaystyle \alpha = $\alpha_i$, \alpha_i \in \Omega_{X}^{1}(-D)(U_i)$
と書けて、 $\alpha_i$ は $U_i$ 上の有理型1形式で、 $\mathrm{div}(\alpha_i) - D|_{U_i} \ge 0$ を満たすようなもの。 $\alpha_i$ を貼り合わせて $\alpha$ が作られる。
$\displaystyle \delta(\alpha_i) = \alpha_{ij} = \alpha_{i} - \alpha_{j} = 0 $on U_{ij} = U_i \cap U_j$$
であるから $U_{ij} = U_i \cap U_j$ 上では $\alpha_{i} = \alpha_{j}$ が成立している。

次に $\beta = (\beta_{ij}) \in H^1(X, \mathcal{O}_{X}(D))$ について。
$\beta_{ij}$ は $U_{ij} = U_i \cap U_j$ 上の有理型関数で $\mathrm{div}(\beta_{ij}) + D|_{U_{ij}} \ge 0$ を満たすようなもの。

そこで $U_{ij} = U_i \cap U_j$ 上で定義された有理型1形式 $\alpha_i $= \alpha_j $$ と有理型関数 $\beta_{ij}$ を用いて、 $\gamma_{ij} := \alpha_i \beta_{ij}$ という有理型1形式を定義することができる。このとき、

$\displaystyle \begin{eqnarray} \delta(\gamma_{ij}) &:= & \gamma_{ijk} \\ &=& \gamma_{ij} - \gamma_{ik} + \gamma_{jk} \\ &=& \alpha_i \beta_{ij} - \alpha_i \beta_{ik} + \alpha_j \beta_{jk} \\ &=& \alpha_i (\beta_{ij} - \beta_{ik} + \beta_{jk} \) \\ &=& \alpha_i \beta_{ijk} \\ &=& \alpha_i \delta(\beta_{ij}) \\ &=& 0 \end{eqnarray}$

であるから、 $\gamma_{ij}$ を貼り合わせてできる $\gamma = (\gamma_{ij})$ は $X$ 上の有理型1形式である。さらに $\gamma_{ij}$ が正則であれば $\gamma$ は $H^1(X, \Omega_{X}^{1})$ の元を定めることになる。

$\displaystyle \mathrm{div}(\gamma_{ij}) = \mathrm{div}(\alpha \beta_{ij}) = \mathrm{div}(\alpha)+\mathrm{div}(\beta_{ij}) \ge D|_{U_i} - D|_{U_{ij}} = 0$
より確かに $\gamma_{ij}$ は正則。