留数写像(2) - 第2kame日記

次の層の系列は完全列となることを昨日確認した。

$\displaystyle 0 \longrightarrow \Omega_X^1 \longrightarrow^{\imath} \mathcal{A}_X^{1,0} \longrightarrow^{d} \mathcal{A}_X^{2} = \mathcal{A}_X^{1,1} \longrightarrow 0$

これから以下の長完全系列が誘導される。

$\displaystyle H^0(X,\mathcal{A}_X^{1,0}) \longrightarrow^{d} H^0(X,\mathcal{A}_X^{1,1}) \longrightarrow^{\delta^0} H^1(X, \Omega_X^1) \longrightarrow^{\imath} H^1(X,\mathcal{A}_X^{1,0}) \longrightarrow \cdots$

第5章の結果から $H^1(X,\mathcal{A}_X^{1,0}) = 0$ なので、以下が完全系列となる。

$\displaystyle H^0(X,\mathcal{A}_X^{1,0}) \longrightarrow^{d} H^0(X,\mathcal{A}_X^{1,1}) \longrightarrow^{\delta^0} H^1(X, \Omega_X^1) \longrightarrow 0$

これから $\delta^0: H^0(X,\mathcal{A}_X^{1,1}) \rightarrow H^1(X, \Omega_X^1)$ が全射となる。したがって $\forall \alpha \in H^1(X, \Omega_X^1)$ に対し $\delta^0(\beta) = \alpha$ となる $\beta \in H^0(X,\mathcal{A}_X^{1,1})$ が存在する。このとき $\delta^0(\beta + d\omega) = \delta^0(\beta) + \delta\circ d(\omega) = \delta^0(\beta) = \alpha$ となるので、 $\beta$ の選び方には $d$H^0(X,\mathcal{A}_X^{1,0})$$ の分だけ自由度がある。
(もし $\alpha = \delta^0(\beta) = \delta^0(\beta')$ だとすると $\delta^0(\beta-\beta')=0$ より $\beta-\beta'\in \rm{Ker}\delta^0 = \rm{Im}d$ である)