2009-02-23

Weierstrassのσ関数

楕円関数論

§2.8「Weierstrassの $\sigma$ 関数」に入る。

$\displaystyle \frac{\sigma'(u)}{\sigma(u)} = \zeta(u)$

を満たす整関数( $\mathbb{C}$ 全体で正則な関数)として、Weierstrassの $\sigma$ 関数 $\sigma(u)$ が導入される。

2009-02-21

§3.1つづき

環と体

ヒルベルトの基底定理

テキストの証明法のギャップが埋まらず、仕方なく図書館で見つけた「代数学」（松村英之、朝倉書店）の証明を追う。証明のフォローは完了。たぶん本質的には同じ証明法だと思う。

根基(radigal)の定義

可換環AのJacobson根基、ベキ零根基、イデアルI⊂Aの根基の定義。

Jacobson根基： $A$ のすべての極大イデアルの交わり。 $Rad(A)$ と書く。

ベキ零根基： $A$ のすべての素イデアルの交わり。 $\mathfrak{N}(A)$ と書く。

$A$ のイデアル $I$ の根基： $I$ を含むすべての素イデアルの交わり。 $\sqrt{I}$ と書く。

根基の特徴付け

可換環 $A$ に対し、

(1) $\displaystyle a \in Rad(A) \Leftrightarrow \forall x \in A, 1-ax \in U(A)$
(2) $\displaystyle a \in \mathfrak{N}(A) \Leftrightarrow a$ はベキ零
(3) $\displaystyle a \in \sqrt{I} \Leftrightarrow \exists n > 0, a^n \in I$

2009-02-21

局所環

環と体

§3.1の最後は局所環。その定義は、

極大イデアルを唯一つ持つ環を、局所環(local ring)という。

これだけだと意味がさっぱりわからないが、リーマン面の方でおなじみだったものを抽象化したものだということがわかる例がある。
それはリーマン面上の点 $P$ における正則関数の芽の集合 $A_P$ である。
$A_P$ の元は点 $P$ の近傍 $U$ とその上の正則関数 $f$ の組 $(f,U)$ で表される。 $A_P$ に和と積を以下で定義する。

$(f,U), (g,W) \in A_P$ に対し、
$\displaystyle (f,U)+(g,W) =_{\rm{def}} (f+g, U \cap W)$
$\displaystyle (f,U)\cdot(g,W) =_{\rm{def}} (fg, U \cap W)$

これにより $A_P$ は環となる。
そして、環 $A_P$ は以下のような唯一の極大イデアル $\mathfrak{m}$ を持ち、局所環となる。

$f(P)=0$ を満たす $(f,U) \in A_P$ 全体の集合を $\mathfrak{m}$ とする。

$\mathfrak{m}$ が極大イデアルであることは、以下のような準同型 $\varphi$ からわかる：

$\displaystyle \begin{array}{cccc} \varphi &: & A_P & \to & \mathbb{C} \\ & & (f,U) & \mapsto & f(P) \end{array}$

$\mathfrak{m}$ の定義から $\rm{ker}\varphi = \mathfrak{m}$ となり、また $\varphi$ は全射だから準同型定理により

$\displaystyle A_P/\mathfrak{m} \simeq \mathbb{C}$

となる。 $\mathbb{C}$ は体だから $\mathfrak{m}$ が極大イデアルとなる。
唯一性も容易に示せる。

以上で§3.1読了。

2009-02-20

ヒルベルトの基底定理

環と体

ネーター環 $A$ の多項式環 $A[X]$ はネーター環である。

証明に超えられないギャップがあり悩む。土日にゆっくり考えてみよう。

2009-02-18

ネーター環とアルティン環

環と体

§3.1「ネーター環とアルティン環」に入る。
まずは、ネーター環とアルティン環の定義の理解から。

2009-02-16

楕円関数体とペー関数(2)

楕円関数論

$\Omega := $\omega_1,\omega_2$$ を周期とする楕円関数全体の集合を $K(\Omega)$ と書き、楕円関数体という。 $K(\Omega)$ は複素トーラス $\mathbb{C}/\Omega$ 上の有理関数全体のなす体である。

定理2.10 で以下が証明される：

$\Omega$ を周期とする任意の楕円関数 $f(u)$ は、 $\wp(u)$ の有理式 $F(\wp(u)),G(\wp(u))$ が存在して、

$\displaystyle f(u) = F(\wp(u))+G(\wp(u)) \wp'(u)$

と書ける。

これから

$\displaystyle K(\Omega) = \mathbb{C}(\wp(u),\wp'(u))$

$\wp$ 関数に関しては、微分方程式

$\displaystyle \wp'(u)^2 = \wp(u)^3 - g_2 \wp(u) - g_3$

が成立していた。
これを用いると、 $\mathbb{C}(\wp(u),\wp'(u))$ は体 $\mathbb{C}(\wp(u))$ の2次拡大体であることがわかる。
多項式 $y^2 - x^3 + g_2 x + g_3$ は既約であることから、体 $\mathbb{C}(\wp(u),\wp'(u))$ は、整域
$\displaystyle \mathbb{C}[x,y]/(y^2 - x^3 + g_2 x + g_3)$
の商体となる。

一方、本書の付録Hによると、既約多項式
$\displaystyle C: (y^2 - x^3 + g_2 x + g_3 = 0)$
で定義される代数曲線 $C$ の有理関数体 $\mathbb{C}(C)$ は
$\displaystyle \mathbb{C}[x,y]/(y^2 - x^3 + g_2 x + g_3)$ の商体
に等しい。
(既約多項式 $y^2 - x^3 + g_2 x + g_3$ で生成される $\mathbb{C}[x,y]$ のイデアル $(y^2 - x^3 + g_2 x + g_3)$ は素イデアルであり、従って $\mathbb{C}[x,y]/(y^2 - x^3 + g_2 x + g_3)$ は整域となる。これを代数曲線 $C$ の座標環という。この座標環の商体を代数曲線 $C$ の有理関数体 $\mathbb{C}(C)$ という。)