標準因子 - 第2kame日記

リーマンロッホの定理から、コンパクトリーマン面 $X$ 上には0でない大域的有理型1形式 $\omega$ が存在することがわかる。
任意の0でない $X$ 上のもう一つの大域的有理型1形式 $\eta$ をとると、ある0でない大域的有理型関数 $f$ があり $\omega = f \eta$ と表される。したがって

$\displaystyle \mathrm{div}(\omega) = \mathrm{div}(f \eta) = \mathrm{div}(f) + \mathrm{div}(\eta)$

これは $X$ 上の0でない大域的有理型1形式の定める因子はすべて線形同値であることを意味する。その線形同値類を $X$ の標準因子といい、 $K_X$ という記号で表す。

この標準因子がとっても役に立つらしい。コンパクトリーマン面 $X$ 上の必ず存在する0でない有理型1形式 $\omega$ を利用することで、 $K_X = [\mathrm{div}(\omega)]$ と表せる。これを利用すると、以下の $\mathcal{O}_X$ -加群の層としての同型が成り立つ：

(1) $\displaystyle \mathcal{O}_X(K_X) \simeq \Omega_X^1$
(2) $\displaystyle \mathcal{O}_X(K_X + D) \simeq \Omega_X^1(D)$