コンパクトリーマン面と射影平面代数曲線

代数曲線論

コンパクトリーマン面 X上に定数でない大域的有理型関数が存在することを利用すると、Xが射影平面上の非特異代数曲線であることを示せるらしい。またその逆も言えるそうで、この後しばらくその証明が続くようだ。


コンパクトリーマン面 X上に存在が保証された定数でない大域的有理型関数の一つf:X \rightarrow \mathbb{C}をとる。この fに対して、

\displaystyle \tilde{f}: X \in P \mapsto [f(P):1] \in \mathbb{P}^1

によって Xから \mathbb{P}^1への全射正則写像を作ることができて、 \tilde{f}によりXは \mathbb{P}^1を d:= \mathrm{deg}\tilde{f}重に被覆する。