完備一次系 - 第2kame日記

コンパクトリーマン面 $X$ 上の因子 $D$ と線形同値な因子で効果的(正)なもの全体の集合を $|D|$ と書き、これを因子 $D$ の定める完備一次系と呼ぶ。

$h^0(\mathcal{O}_X(D)) := \mathrm{dim}_{\mathbb{C}} H^0(X,\mathcal{O}_X) \ge 1$ のとき、以下の対応 $\alpha$ は全単射となる：

$\displaystyle \alpha : $H^0(X,\mathcal{O}_X(D)) - \{0\}$/\mathbb{C}^{\times} \ni [f] \mapsto D + \mathrm{div}(f) \in |D|$

これを確かめてみる。

まず左辺の元の形を確認(復習)する。
$\mathcal{U}=$U_i$_{i\in I}$ を $X$ の開被覆とする。 $H^0(X,\mathcal{O}_X(D))=Z^0(\mathcal{U},\mathcal{O}_X(D))$ の元 $f$ を任意にとる。すると $f = $f_i$_{i\in I}$ と書ける。各 $f_i$ は $\mathcal{O}_X(D)(U_i)$ の元。言い換えると $f_i$ は $U_i$ 上の有理型関数で、 $\mathrm{div}(f_i) + D|_{U_i} \ge 0$ を満たすようなもの。
さらにcocycle条件から $\delta f_i := f_{ij} = f_j - f_i = 0$ すなわち $f_i = f_j$ を $U_i \cap U_j$\neq \emptyset$$ 上で満たす。

さて、 $[f] \in $H^0(X,\mathcal{O}_X(D)) -\{0\}$/\mathbb{C}^{\times}$ とする。
まず $\alpha([f]) \in |D|$ を確かめる。
局所的に $D|_{U_i} + \mathrm{div}(f_i = f|_{U_i}) \ge 0$ が成立しているから、 $D + \mathrm{div}(f) \ge 0$ すなわち $\alpha([f]) \in |D|$ 。

次に $\alpha$ が全射であること：
$\forall D_1 \in |D|$ をとると $\exist f \in \mathcal{M}(X) (f\neq 0) s.t. D_1 = D + \mathrm{div}(f), D_1 \ge 0$ である。このとき、 $f \in \mathcal{O}_X(D)(X)$ で $f \neq 0$ だから $f \in H^0(X,\mathcal{O}_X(D)) - \{0\}$ であり、 $\alpha([f]) = D_1$ となる。よって全射。

$\alpha$ が単射であること：
$\alpha([f]) = \alpha([g])$ とすると $D + \mathrm{div}(f) = D + \mathrm{div}(g)$ より $0 = \mathrm{div}(f) - \mathrm{div}(g) = \mathrm{div}(f/g)$ 。
よって $f/g$ は定数関数で $f/g = c$ より $f = c g$ 。ゆえに $f \sim g$ すなわち $[f] = [g]$ 。ゆえに単射。