定数でない大域的有理型関数の存在

リーマン-ロッホの定理から以下が成立する(リーマン-ロッホの不等式という)：

$\displaystyle h^0(\mathcal{O}_X(D)) \ge 1-g+\mathrm{deg}D$

これを応用すると、コンパクトリーマン面 $X$ 上に定数でない大域的有理型関数が存在することが簡単に示せる。

$\forall P \in X$ をとる。 $D:=(g+1)P$ とおくと因子 $D$ ができる。この $D$ に対してリーマン-ロッホの不等式を適用すると、
$\displaystyle h^0(\mathcal{O}_X(D)) \ge 1-g+\mathrm{deg}D = 1-g+(g+1)=2$

すなわち複素ベクトル空間 $H^0(X,\mathcal{O}_X(D))$ の次元が2であるが、この空間は点 $P$ を高々(g+1)位の極としてもち、それ以外の点では正則な有理型関数からなる。その次元が2だから $H^0(X,\mathcal{O}_X(D))$ 定数関数以外の元を含む。