因子 - 第2kame日記

$\displaystyle \mathrm{div}(fg) = \mathrm{div}(f)+\mathrm{div}(g)$

$P \in X$ の近傍で $f(z)=z^m \varphi(z), g(z)=z^n \psi(z)$ と表されたとすると、 $(fg)(z) = z^{m+n}(\varphi\psi(z))$ だから。(極の場合も同様)
同様に考えて以下も成立。

$\displaystyle \mathrm{div}(\frac{1}{g}) = -\mathrm{div}(g)$
$\displaystyle \mathrm{div}(f\omega) = \mathrm{div}(f)+\mathrm{div}(\omega)$

因子の線形同値

コンパクトリーマン面上の因子 $D_1,D_2$ が、ある $X$ 上の大域的有理型関数に $f$ によって $D_2 = D_1 + \mathrm{div}(f)$ と表せるとき、 $D_1$ と $D_2$ は線形同値であるといい $D_1 \sim D_2$ と書く。

演習問題があるのでやってみよう。

問題6.7

$D_1,D_2,D$ は $X$ 上の因子で、 $D_2 \sim D_1$ であるとする。
(1) $\mathrm{deg}D_2 = \mathrm{deg}D_1$ を示せ。
(1)' $\mathcal{O}_X$ -加群層として $\mathcal{O}_X(D_2) \simeq \mathcal{O}_X(D_1)$ であることを示せ。

(1)について。ある有理型関数 $f$ があって $D_2=D_1+\mathrm{div}(f)$ と書ける。 $D_1=\sum_{P\in X} a_P P$ とすると、

$\displaystyle \begin{eqnarray} D_2 &= & D_1 + \mathrm{div}(f)\\ &=& \sum_{P\in X} a_P P + \sum_{P\in X} \mathrm{ord}_P(f) P \\ &=&\sum_{P\in X} $a_P + \mathrm{ord}_P(f) $P \end{eqnarray}$

したがって

$\displaystyle \begin{eqnarray} \mathrm{deg}D_2 &= & \sum_{P\in X} $a_P + \mathrm{ord}_P(f) $ \\ &=& \sum_{P\in X} a_P + \sum_{P\in X} \mathrm{ord}_P(f) \\ &=& \sum_{P\in X} a_P \\ & =& \mathrm{deg}D_1 \end{eqnarray}$

(1)'について。
$X$ の開集合 $U$ に対し、 $\mathcal{O}_X(D_1)(U)$ と $\mathcal{O}_X(D_2)(U)$ との間の同型を見出せばよい。
$D_1 \sim D_2$ より $D_1 = D_2 + \mathrm{div}(\varphi)$ を満たす有理型関数 $\varphi$ が存在する。この $\varphi$ を利用して、写像 $\alpha$ を以下のように定義できる：

$\displaystyle \alpha: \mathcal{O}_X(D_1)(U) \ni f \mapsto \varphi f \in \mathcal{O}_X(D_2)(U)$

$\varphi f$ が $\mathcal{O}_X(D_2)(U)$ の元であることは、

$\displaystyle \begin{eqnarray} \mathrm{div}(\varphi f) + D_2 &= & \mathrm{div}(\varphi) + \mathrm{div}(f) + D_2 \\ &=& \mathrm{div}(f) + $ D_2 + \mathrm{div}(\varphi) $ \\ &=& \mathrm{div}(f) + D_1 \ge 0 \end{eqnarray}$

よりわかる。