リーマン-ロッホの定理

続いて§6.2「リーマン-ロッホの定理とその最初の応用」に入る。

$X$ を種数 $g$ のコンパクトリーマン面とする。すなわち
$\displaystyle g(X) := \rm{dim}_{\mathbb{C}} H^1(X,\cal{O}_X) = g$
とする。
$D$ を $X$ 上の因子とする。
すでに因子とは何であったか、忘れかけているが、 $D$ が
$\displaystyle D = \sum_{P\in X} n_P P, n_P \in \mathbb{Z}$
という形で、 $n_P$ が0でないような $P$ 達が離散であるようなものが因子であった。

さらに因子 $D$ に付随する層 $\cal{O}_X(D)$ は $X$ の領域 $U$ に対し、

$\displaystyle \cal{O}_X(D)(U) := \{f \in \cal{M}_X(U) | \rm{div}(f)+D|_{U} \ge 0\}$

で定義されていた。つまり具体的な例でみると
$\displaystyle D = 2P_1 - 3P_2 + P_3$
であって、 $P_1,P_2 \in U$ だとしたときには、
$\cal{O}_X(D)(U)$ とは、 $P_1$ を高々2位の極とし、 $P_2$ を3位以上の零点として持つような $U$ 上の有理型関数の全体の集合だ。

因子 $D$ に付随する層 $\cal{O}_X(D)$ に対し、

$\displaystyle h^0(\cal{O}_X(D)) := \rm{dim}_{\mathbb{C}} H^0(X,\cal{O}_X(D))$
$\displaystyle h^1(\cal{O}_X(D)) := \rm{dim}_{\mathbb{C}} H^1(X,\cal{O}_X(D))$

とする。

リーマン-ロッホの定理

$h^0(\cal{O}_X(D)),h^1(\cal{O}_X(D))$ はともに有限で、次の等式を満たす：
$\displaystyle h^0(\cal{O}_X(D)) - h^1(\cal{O}_X(D)) = 1 - g + \rm{deg} D$

この後しばらくこれを証明するための準備が長く続く。