ベクトル束の接続 - 第2kame日記

第2章に入る。
接続とは、 $\mathbb{R}^3$ 内の 2次元曲面における共変微分を、一般化、抽象化したもののようだ。
2次元曲面上の接ベクトル場 X の共変微分は、微分 dX を接平面の方向の成分と法ベクトル方向に分解したときの接成分であった。
一般の多様体においては「法ベクトル方向」というものは存在しないので、2次元曲面の性質のうち、法ベクトルに依存しない性質をベースにして、共変微分、曲率などを一般の多様体において定義するらしい。
2次元曲面における場合と似たような計算がたくさん出て来る。

最初はベクトル束の線形接続というものが出て来るが、この定義を理解するために、ベクトル空間のテンソル積の復習をする。

$\displaystyle V \otimes U^{*} \simeq Hom$U,V$$

これは、左辺の元 $v \otimes f \in V \otimes U^{*}$ をとると、 $f$ は $f : U \to \mathbb{R}$ という写像であるので、 $v \otimes f$ に対して $u \in U$ を $v \otimes f(u)$ のように代入してやることにより $f(u) \in \mathbb{R}$ から $v \otimes f(u) \in V$ と考えることができる。
( $V$ と $\mathbb{R} \otimes V$ は、 $\alpha v \leftrightarrow \alpha \otimes v$ により同型と見なせる) したがって $\displaystyle V \otimes U^{*}$ の元は $U \to V$ の写像と見なせる。

これを利用すると、

$\displaystyle E \otimes T^{*} M \simeq Hom$TM,E$$

とみなせる。つまり $E \otimes T^{*}M$ の元は、接ベクトルに $E$ の値を対応させる写像とみなせる。接ベクトルに $\mathbb{R}$ の値を対応させる線形写像が多様体 M 上の1次微分形式だったことから、 $E \otimes T^{*}M$ の元のことを「 E に値をとる微分形式」と呼ぶらしい。
実ベクトル空間 $V$ の複素化を $V \otimes \mathbb{C}$ と書くことができるのと似たようなものと思えばいいだろうか。

これを利用して、ベクトル束 $\pi: E \to M$ の線形接続 $\nabla$ というものを以下のように定義する。

$\nabla$ は $E$ の切断 $C^{\infty}$M, E$$ から $E \otimes T^{*} M$ の切断 $C^{\infty}$M,E \otimes T^{*} M$$ への線形写像

$\displaystyle \nabla : C^{\infty}$M, E$ \to C^{\infty}$M,E \otimes T^{*} M$$

で、 $\forall f \in C^{\infty}$M$, \forall s \in C^{\infty}$M, E$$ に対し、以下を満たすもののこと。

$\displaystyle \nabla$f s$ = f \nabla s + s \otimes df$

この後、ベクトル束が与えられたとき、

その上の線形接続は存在するか？
存在するなら一意に決まるか？
一意に決まらないなら自然なもの、役に立つものにはどんなものがあるか？

ということを、いろいろなベクトル束の場合に調べていく。