測地線の最短性

微分幾何

小林「曲線と曲面の微分幾何」第3章§6 p117 の L'(\lambda) の計算の途中に出て来る式(6.9)の式変形がよくわからなかったのでメモ。
まず式(6.9)をそのまま書くと、


\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial \lambda} \( \frac{\partial \bb{f}}{\partial t} \cdot \frac{\partial \bb{f}}{\partial t} \) & = & 2 \( \frac{D}{\partial \lambda} \frac{\partial \bb{f}}{\partial t} \cdot \frac{\partial \bb{f}}{\partial t} \) \\ &= & 2 \( \frac{D}{\partial t} \frac{\partial \bb{f}}{\partial \lambda} \cdot \frac{\partial \bb{f}}{\partial t} \) \\ &= & 2 \frac{\partial}{\partial t} \(\frac{\partial \bb{f}}{\partial t} \cdot \frac{\partial \bb{f}}{\partial t} \) - 2 \( \frac{\partial \bb{f}}{\partial \lambda} \cdot \frac{D}{\partial t} \frac{\partial \bb{f}}{\partial t} \) \end{eqnarray}


1行目の等式が成り立つこと：

\mathbb{R}^3に埋め込まれた2次元曲面の各点で定義されている接ベクトル場 \frac{\partial \mathbb{f}}{\partial t}の、曲面上の曲線(λ方向の)に沿った共変微分の定義より、

\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial \lambda} \frac{\partial \mathbb{f}}{\partial t} &= & \frac{D}{\partial \lambda} \frac{\partial \mathbb{f}}{\partial t} + A \end{eqnarray}

ただし、ここで A は法方向を向き接平面に垂直。したがって

\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial \lambda} \frac{\partial \mathbb{f}}{\partial t} \cdot \frac{\partial \mathbb{f}}{\partial t} &= & \(\frac{D}{\partial \lambda} \frac{\partial \mathbb{f}}{\partial t} + A\) \cdot \frac{\partial \mathbb{f}}{\partial t} \\ &= & \frac{D}{\partial \lambda} \frac{\partial \mathbb{f}}{\partial t} \cdot \frac{\partial \mathbb{f}}{\partial t} \end{eqnarray}

となる。


3行目の等式が成り立つこと：
逆に計算すればわかる。