§3.2読了

環と体

しばらくさぼっていたが、とりあえず§3.2終了。
まえがきにこの§は辞書的で読みにくいからさっと流して後で振り返れ、とありがたいお言葉があったのでそれに従うことにした。


環の加群
加群の直和
部分加群
自由加群
Hom
中山の補題
完全列
テンソル積


について軽く流す感じとなった。

Weierstrassのσ関数(3)

楕円関数論

\displaystyle \sigma(u) := u \prod_{\omega \in \Omega-\{0\}}\(1-\frac{u}{\omega}\)\exp\(\frac{u}{\omega}+\frac{u^2}{2\omega^2}\)

より

\displaystyle \frac{\sigma(u)}{u} = {\prod}' \(1-\frac{u}{\omega}\)\exp\(\frac{u}{\omega}+\frac{u^2}{2\omega^2}\)

であり、両辺のlogをとると、

\displaystyle \log \sigma(u) - \log u = {\sum}' \(\log(1-\frac{u}{\omega}\)) + \frac{u}{\omega} +\frac{u^2}{2\omega^2}\) = \int_{0}^{u}\(\zeta(u)-\frac{1}{u}\)du

これをuで微分して、

\displaystyle \frac{\sigma'(u)}{\sigma(u)} - \frac{1}{u} = \zeta(u)-\frac{1}{u}

より

\displaystyle \zeta(u) = \frac{\sigma'(u)}{\sigma(u)}

を得る。これはWeierstrassのζ関数を、整関数の商として表示できたことに意義がある。


さらに \wp(u) = -\zeta'(u)であったので、

\displaystyle \wp(u) = \frac{\sigma'(u)^2 - \sigma(u)\sigma''(u)}{\sigma(u)^2}

を得る。これにもWeierstrassの \wp関数を、整関数の商として表示できたことに意義があるようだ。

Weierstrassのσ関数(4)。§2.8読了

楕円関数論

この後、 \sigma(u)のベキ級数展開が以下の形になることが求められる：

\displaystyle \sigma(u) = u + a_5 u^5 + a_7 u^7 + \cdots

a_5,a_7,\cdots,a_{2n+1},\cdotsはg_2,g_3の有理数係数の多項式として表される。
たとえば、

\displaystyle a_5 = - \frac{g_2}{240}
\displaystyle a_7 = - \frac{g_3}{840}


§2.8 の最後は、 \sigma関数の擬周期性について。\zeta関数の擬周期性

\displaystyle \zeta(u+\omega) = \zeta(u) + \eta

を基に、以下が示されて§2.8 が読了となった。

\displaystyle \sigma(u + m\omega_1 + n\omega_2) = (-1)^{m+n+mn} \exp\((m \eta_1 + n\eta_2)\(\frac{m\omega_1+n\omega_2}{2}\)\) \sigma(u)

この式が次の§で重要な働きをするらしい。

Weierstrassのσ関数(2)

楕円関数論

無限乗積の収束の知識が必要になった。これについて過去学んだことが一度もなかったので、関数論のテキストでWeierstrassの因数分解定理なるものなどのお勉強を一週間ほどしていた。
その結果、

\displaystyle \sigma(u) := u \prod_{\omega \in \Omega-\{0\}}\(1-\frac{u}{\omega}\)\exp\(\frac{u}{\omega}+\frac{u^2}{2\omega^2}\)

で定義される \sigma(u)は整関数となることがようやくわかった(右辺に現れる無限乗積の収束が問題)。
この関数は Weierstrassのσ関数と呼ばれる。