曲面の基本形式と曲率

リーマン面関連の本を読んでいたが、ちょっと現時点では準備不足でまだ早そう。もっと具体的で基本的なことをやり直す必要がありそうな感じ。
ということで、読みかけていた「曲線と曲面の微分幾何」に戻ることにした。

3次元空間内の曲面を2つのパラメータu,v で $\vec{p}=\vec{p}(u,v)$ と表す。 $\vec{p}_u, \vec{p}_v$ が曲面上の点の接ベクトルとなる。
$\vec{e} = \frac{\vec{p}_u \times \vec{p}_v}{\|\vec{p}_u \times \vec{p}_v\|}$ とすると、 $\vec{p}_u, \vec{p}_v, \vec{e}$ は曲面上の各点で一次独立。

さて、u-v平面上の曲線 $\gamma: [\alpha, \beta] \ni t \mapsto (u(t), v(t))$ をとり、曲面 $\vec{p}=\vec{p}(u,v)$ を $\gamma$ で引き戻すと、曲面上に曲線 $\vec{p}(t) = \vec{p}(u(t),v(t))$ が取れる。この曲線 $\vec{p}(t)$ の各点における接ベクトルは $\frac{d\vec{p}}{dt}$ であり、
$\displaystyle \frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{p}_u \frac{du}{dt} + \vec{p}_v \frac{dv}{dt}$
と書ける。
ここで天下りに第１基本量なる値 E,F,G が以下のように定義される：

$\displaystyle \begin{eqnarray}E&=&\vec{p}_u\cdot \vec{p}_u \\ F&=&\vec{p}_u\cdot \vec{p}_v \\ G&=&\vec{p}_v\cdot \vec{p}_v \end{eqnarray}$

接ベクトル $\frac{d\vec{p}}{dt}$ の長さの2乗は
$\displaystyle \frac{d\vec{p}}{dt}\cdot \frac{d\vec{p}}{dt} = $\vec{p}_u \frac{du}{dt} + \vec{p}_v \frac{dv}{dt}$\cdot $\vec{p}_u \frac{du}{dt} + \vec{p}_v \frac{dv}{dt}$ = E$\frac{du}{dt}$^2 + 2F \frac{du}{dt} \frac{dv}{dt} + G$\frac{dv}{dt}$^2$
と表せる。よってパラメータtがαからβまで動くときこの曲線の長さは、
$\displaystyle \int^{\beta}_{\alpha} \sqrt{E$\frac{du}{dt}$^2 + 2F \frac{du}{dt} \frac{dv}{dt} + G$\frac{dv}{dt}$^2}dt$
である。