R言語による等角写像のグラフ化

R言語は複素数型を扱えるので、複素解析のお勉強に大変便利である。

$h(z) = {\frac{z - \beta}{1 - \bar{\beta} z} / \frac{z - \alpha}{1 - \bar{\alpha} z} }$
とおくと、 $w = h(z)$ で定義される写像は、単位円を単位円に写す。

昨日定義した上の写像hは、単位円を単位円に写すらしいが、本当かどうかR言語で確認してみる。

まず w = h(z)を定義。

#等角写像 w = h(z) の定義
# h(z) = {(z-b)/(1-(b~)z} / {(z-a)/(1-(a~)z}
h <- function(z, a, b)
{
	bunshi <- (z - b) / (1 - Conj(b) * z)
	bunbo <- (z - a) / (1 - Conj(a) * z)
	w <- bunshi / bunbo
	return(w)
}

z平面上の単位円は、一意化パラメータθを使うと、 $z = \exp(i\theta), \theta \in [0,2\pi]$ と表わされるので、

theta <- seq(0,2*pi,len=100)	
z <- exp(1i * theta)			#単位円の出来上がり

z平面上の単位円を、等角写像hでw平面上に写してみる。
α=0.5,β=-0.5 の場合をグラフ化してみる。

alpha <- 0.5+0i
beta <- -0.5+0i
w <- h(z, alpha, beta)

plot.new()
par(mfrow=c(1,2))
plot(z, type="l"); title("z平面上の単位円")		#z平面上の単位円
plot(w, xlim=c(-1,1), ylim=c(-1,1), type="l"); title("w平面")	#h(z)

これでz平面の単位円は、hによって w平面上の単位円上に写されることがわかった。