アフィン曲線(3) - 第2kame日記

既約多項式 $f(x,y)$ で定義されたアフィン曲線 $C$ の点 $P$ について、次の(1)(2)は同値だそうである。
(1) $P$ を中心とする2次元開円板 $\Delta^2$ があって、 $C \cap \Delta^2$ が $\Delta^2$ の閉部分多様体。
(2) $P$ は非特異点である。

(1)⇒(2)の証明の途中で、1変数正則関数の零点の位数の連続性について出てきたのでメモ。
すなわち多項式 $f(z)$ で表される1変数正則関数に対し $\alpha$ がそのm位の零点であったとする。
このとき、係数多項式 $f(z)$ の係数をほんのちょびっと動かした多項式 $g(z)$ についても $\alpha$ はそのm位の零点である。これはルーシェの定理を使って簡単に証明できることがわかった。(参考：杉浦光夫「解析入門II」p309例3)