リーマン面上の正則関数

$\displaystyle X, $U_{\alpha}, z_{\alpha} $_{\alpha \in A}$
$\displaystyle Y, $V_{\lambda}, w_{\lambda} $_{\lambda \in \Lambda}$
をリーマン面とする。X から Y への写像 $\varphi: X \to Y$ を考える。
X の 1点 a をとり、 $b = \varphi(a) \in Y$ とし、a, b はそれぞれ座標近傍 $U_{\alpha}, V_{\lambda}$ に含まれているとする。
すると、写像 $\varphi: X \to Y$ を介して、 $\mathbb{C}$ の開集合から $\mathbb{C}$ の開集合への写像 $w_{\lambda} \circ \varphi \circ z^{-1}_{\alpha}$ が定義できる。この写像は $z_{\alpha}(a)$ の近傍で定義されており、 $w_{\lambda}(V_{\lambda})$ に値をとる。
$z_{\alpha}(a)$ の近傍も、 $w_{\lambda}(V_{\lambda})$ も $\mathbb{C}$ の開集合であるから、 $w_{\lambda} \circ \varphi \circ z^{-1}_{\alpha}$ は複素関数である。これが正則関数であるとき、
$\varphi: X \to Y$ は $a \in X$ で正則であると定義する。
$\forall a \in X$ で $w_{\lambda} \circ \varphi \circ z^{-1}_{\alpha}$ が正則のとき、
$\varphi: X \to Y$ は $X$ で正則であると定義する。
これにより、リーマン面上の正則関数が定義された。