リーマンの写像定理(4)

とりあえずリーマンの写像定理を証明するまでは続けることにする。

さて、 $D\neq \mathbb{C}$ なる0を含む単連結領域D が与えられたとき、D から単位開円板D(0;1)の中への正則写像 f で f(0) = 0 となるものを考える。このような f の全体を $\cal{F}$ と書くことにする。

D から D(0;1)への解析同型 $f_0$ がもし存在したとすると、 $\forall f \in \cal{F}$ に対して
$\displaystyle |f'(0)| \le |f_0'(0)|$
が成立している。すなわち $|f'(0)|$ の最大値を与える DからD(0;1)の中への正則写像は、D から D(0;1)への解析同型である。これをまず示す。
$\forall f \in \cal{F}$ をとる。
$h = f\circ f_0^{-1}$
により D(0;1)からD(0;1)への正則写像が定義できるが、この h は
$h(0)=0$
$|h(z)| \lt 1$
を満たすからシュワルツの補題を h に適用することにより、
$|h'(0)| \le 1$
が成立する。したがって $f = h \circ f_0$ だから連鎖律を使うと以下が成立する。
$\displaystyle |f'(0)| = |(h \circ f_0)'(0)| = |h'(0)| |f_{0}'(0)| \le |f_{0}'(0)|$
すなわち、 $|f'(0)|$ の最大値を与える DからD(0;1)の中への正則写像は、D から D(0;1)への解析同型であることがわかった。

実はこれの逆が言えるそうである。
すなわち、 $\forall f \in \cal{F}$ に対して $|f'(0)| \le |f_0'(0)|$ が成立する $f_0 \in \cal{F}$ がもし存在すれば、この $f_0$ が D から D(0;1) への解析同型を与える。これが証明できるとリーマンの写像定理の証明にぐっと近づくことができる。