留数定理(2) - 第2kame日記

復習

しばらく時間が立っているので忘れていることが多い。3章の内容で必要なものを復習としてメモしておく。

開集合 D 内の閉曲線 $\gamma$ がD 内で 0 にホモロジー同値(定義)： $\displaystyle a \notin D \Rightarrow Ind(\gamma; a) = 0$

開集合 D 内の閉曲線 $\gamma_1,\gamma_2$ がD 内でホモロジー同値(定義)： $\displaystyle \gamma_1 \vee \gamma^{-}_2$ がD 内で 0 にホモロジー同値。

このとき $\displaystyle a \notin D \Rightarrow Ind(\gamma_1; a) = Ind(\gamma_2; a)$

開集合 D 内の区分的に滑らかな閉曲線 $\gamma$ に対し、 $\displaystyle e^{F(t)} = \gamma(t) - a$ を満たす連続関数 $F(t): [0,1] \to \mathbb{C}$ が存在し、 $\displaystyle F'(t) = \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t) - a}$

閉曲線の指数(回転数)の定義： $\displaystyle Ind(\gamma; a) = \frac{1}{2\pi i}$F(1)-F(0)$$

$\gamma$ 上にない任意の点aに対し、 $Ind(\gamma; a) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{dz}{z-a}$

一般の回路に関する留数定理

$D$ を領域とする。Dにおいて関数fは有限個の孤立特異点 $a_1,\cdots,a_m$ を除き正則とする。
$D$ 内の回路(滑らかな閉曲線の有限和) $\gamma$ が $a_1,\cdots,a_m$ を通らず、しかも $\gamma$ が D内で0にホモロジー同値ならば、以下が成り立つ：
$\displaystyle \int_{\gamma} f(z)dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{m} Ind(\gamma; a_k) Res(f;a_k)$

D内で0にホモロジー同値な回路 $\gamma$ に対して
$\displaystyle \int_{\gamma} f(z)dz = 0$
が成り立つ(Cauchyの積分定理)。そこでこれを利用すべく0にホモロジー同値な回路を作ることを試みる。
各孤立特異点 $a_k$ に対し十分小さい $\varepsilon_k \gt 0$ をとり
$\gamma_k(t) = a_k+\varepsilon_k e^{i t} (0\le t \le 2\pi)$
とする。 $\gamma_k(t)$ は $a_k$ 中心で半径 $\varepsilon_k$ の円周を作る。複素平面はハウスドルフ空間であるから各 $\gamma_k$ は交わらないようにとることができ、また回路 $\gamma$ もこれらに交わらないようにできる。
簡単のため孤立特異点が1個、m=1の場合を考える。この場合 $\gamma$ は $a_1$ のまわりを $Ind(\gamma; a_1)$ 回まわる。たとえば2回まわったとすると $\Gamma = \gamma - 2 \gamma_1$ としてやると、 $\Gamma$ は $a_1$ のまわりを2回まわって逆向きに2回まわるから、 $Ind(\Gamma; a_1) = 0$ となり $\Gamma$ はD内で0でホモロジー同値となる。そこでCauchyの積分定理が使えて
$\displaystyle \int_{\Gamma} f(z)dz = \int_{\gamma-2\gamma_1} = \int_{\gamma} - 2\int_{\gamma_1}$
が0となるから
$\displaystyle \int_{\gamma}f(z)dz = 2\int_{\gamma_1}f(z)dz = 2\cdot2\pi i \cdot Res(f;a_1)$
となる。
これと同じようにして孤立特異点がm個のときは
$\displaystyle \Gamma = \gamma - Ind(\gamma_1;a_1)\gamma_1 - \cdots - Ind(\gamma_m;a_m)\gamma_m$
という回路 $\Gamma$ を作ると、これはD内で0にホモロジー同値となり、一般の留数定理が証明できる。