ドラーム複体 - 第2kame日記

M上の $C^{\infty}$ 級 k次微分形式全体を
$\Large \displaystyle \Omega^{k}(M)$
という記号で表す。k=0のときは M上の $C^{\infty}$ 級関数のこととしておく。
k次微分形式ωの外微分dωは k+1次微分形式であったので、
$\displaystyle \omega \in \Omega^{k}(M) \Rightarrow d\omega \in \Omega^{k+1}(M)$
そこで d を $\Omega^{k}(M) \to \Omega^{k+1}(M)$ の写像と思える。
k=0 のときは関数 f の微分 df を f の外微分であるとしておく。そうすると、k=0から多様体Mの次元まで、以下のような写像の系列ができる。

$\Large \displaystyle 0 \to \Omega^{0}(M) \to^{d} \Omega^{1}(M) \to^{d} \cdots \to^{d} \Omega^{m}(M) \to^{d} 0$

この系列をドラーム複体と呼ぶそうだ。
一番左の $\displaystyle 0 \to \Omega^{0}(M)$ の意味がよくわからぬが。
これが何の役に立つのかと思うが、多様体M の幾何的な性質(連結性とか穴がいくつ空いているかとか)がこの系列の代数的な性質に反映させるらしい。