微分形式の外積(2) - 第2kame日記

外積と行列式

$\omega_1,\cdots,\omega_k$ をV上の1次形式、 $X_1, \cdots, X_k \in V$ として、 $\omega_1,\cdots,\omega_k$ の外積を計算してみると、

$\omega_1\wedge\cdots\wedge\omega_k$X_1,\cdots,X_k$=\frac{1}{1!\cdots 1!}A_k$\omega_1\otimes\cdots\otimes\omega_k$$X_1,\cdots,X_k$$
$= \sum_{\sigma\in S_{k}}sgn(\sigma) \sigma $\omega_1\otimes\cdots\otimes\omega_k$$X_1,\cdots,X_k$$
$= \sum_{\sigma\in S_{k}}sgn(\sigma) $\sigma\omega_1\otimes\cdots\otimes \sigma\omega_k$$X_1,\cdots,X_k$$
$= \sum_{\sigma\in S_{k}}sgn(\sigma) \omega_1(X_{\sigma(1)})\cdots \omega_k(X_{\sigma(k)})$
$= \\det$\begin{array}{ccc} \omega_1(X_{\sigma(1)}) & \cdots & \omega_1(X_{\sigma(k)}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \omega_k(X_{\sigma(1)}) & \cdots & \omega_k(X_{\sigma(k)})\end{array} $$

となる。

微分形式の外積

多様体M上のk次微分形式 $\omega$ とl次微分形式 $\eta$ の外積 $\omega \wedge \eta$ は、
$M\ni p \mapsto \omega_p \wedge \eta_p$
という対応として定義される。 $\omega \wedge \eta$ はk+l次微分形式となる。

その他

多様体M上のk次微分形式 $\omega$ とl次微分形式 $\eta$ に対して
$\omega \wedge \eta = (-1)^{kl} \eta \wedge \omega$

$\varphi: M \to N$ を $C^{\infty}$ 級写像、 $\omega,\eta$ をN上の微分形式としたとき
$\varphi^{*}$\omega \wedge \eta$ = $\varphi^{*}\omega$ \wedge $\varphi^{*}\eta$$
すなわちN上の外積をMに引き戻したものと、Mに引き戻してから外積をとったものは一致する。

以上で§19読了。
いよいよ最終§「外微分とStokesの定理」に入る。もうすぐおしまい。