微分形式の外積 - 第2kame日記

二つの微分形式から新しい微分形式を作る演算。
微分形式の外積の定義の前に、一般のベクトル空間上の交代形式の外積が定義される。

ωを上のk次交代形式、ηをV上のl次交代形式としたとき、ωとηの外積とは V上の(k+l)次交代形式で以下のように定義され、 $\omega \wedge \eta$ と書く。

$\omega \wedge \eta(X_1,\cdots,X_{k+l}) = \frac{1}{k! l!} \sum_{\sigma \in S_{k+l}} sgn(\sigma) \omega(X_1, \cdots, X_k) \eta(X_{k+1}, X_{k+l})$

k次の置換σの k次形式ωへの作用を
$\sigma \omega(X_1,\cdots,X_k) = \omega(X_{\sigma(1)},\cdots,X_{\sigma(k)})$
で定義し、さらに $\otimes^{k} V^{*}$ 上の交代化作用素 $A_k: \otimes^{k} V^{*} \to \otimes^{k} V^{*}$ を
$A_k \omega = \sum_{\sigma \in S_{k}} sgn(\sigma) \sigma \omega$
で定義すると、ωとηの外積は以下のように書くことができる。

$\Large \omega \wedge \eta = \frac{1}{k! l!} A_{k+l} (\omega \otimes \eta)$

外積に関する公式

$(a \omega_1 + b \omega_2) \wedge \eta = a(\omega_1 \wedge \eta) + b(\omega_2 \wedge \eta)$
$\omega \wedge (a \eta_1 + b \eta_2) = a(\omega \wedge \eta_1) + b(\omega \wedge \eta_2)$
$(\omega \wedge \eta) \wedge \zeta = \omega \wedge (\eta \wedge \zeta)$

1,2は言ってみれば分配法則か。これは定義から簡単に示せる。
3の結合法則はやや面倒。群論の初歩の知識を使って証明する。
$\omega, \eta, \zeta$ をそれぞれ、k次、l次、r次交代形式とすると、外積および交代化作用素の定義により、
$(\omega \wedge \eta) \wedge \zeta) = \frac{1}{(k+l)!r!} A_{k+l+r}((\omega \wedge \eta) \otimes \zeta)$
$= \frac{1}{(k+l)!r!} A_{k+l+r}$\(\frac{1}{k!l!} A_{k+l}(\omega \otimes \eta)$ \otimes \zeta\)$
$= \frac{1}{(k+l)!k!l!r!} A_{k+l+r} $\(A_{k+l}(\omega \otimes \eta)$ \otimes \zeta\)$
$= \frac{1}{(k+l)!k!l!r!} A_{k+l+r} $ \sum_{\sigma \in S_{k+l}} sgn(\sigma) \sigma \(\omega \otimes \eta$ \otimes \zeta \)$
$= \frac{1}{(k+l)!k!l!r!} A_{k+l+r} $ \sum_{\sigma \in S_{k+l}} sgn(\sigma) \(\sigma\omega \otimes \sigma\eta$ \otimes \zeta \)$
$= \frac{1}{(k+l)!k!l!r!} \sum_{\tau \in S_{k+l+r}} sgn(\tau) \tau $ \sum_{\sigma \in S_{k+l}} sgn(\sigma) \(\sigma \omega \otimes \sigma \eta$ \otimes \zeta \)$
$= \frac{1}{(k+l)!k!l!r!} \sum_{\tau \in S_{k+l+r}}sgn(\tau) $ \sum_{\sigma \in S_{k+l}} sgn(\sigma) \(\tau\sigma \omega \otimes \tau\sigma \eta$ \otimes \tau\zeta \)$
$= \frac{1}{(k+l)!k!l!r!} \sum_{\tau \in S_{k+l+r}} \sum_{\sigma \in S_{k+l}} sgn(\tau\sigma) $\tau\sigma \omega \otimes \tau\sigma \eta \otimes \tau\zeta $$
$= \frac{1}{(k+l)!k!l!r!} \sum_{\sigma \in S_{k+l}} $ \sum_{\tau \in S_{k+l+r}} sgn(\tau\sigma) \(\tau\sigma \omega \otimes \tau\sigma \eta \otimes \tau\sigma\zeta $ \)$
最後の式変形は、σは $\zeta$ を不変にすることによる。
ここで $\sigma \in S_{k+l}$ を一つ固定してみると、 $S_{k+l+r}$ 全体に渡り $\tau$ が動くとき $\tau\sigma$ も $S_{k+l+r}$ 全体を動くから、
$\sum_{\tau \in S_{k+l+r}} sgn(\tau\sigma) $\tau\sigma \omega \otimes \tau\sigma \eta \otimes \tau\sigma\zeta $ = \sum_{\tau \in S_{k+l+r}} sgn(\tau) $\tau \omega \otimes \tau \eta \otimes \tau\zeta $$
となる。そこで計算を継続すると、

$= \frac{1}{(k+l)!k!l!r!} \sum_{\sigma \in S_{k+l}} $ \sum_{\tau \in S_{k+l+r}} sgn(\tau\sigma) \(\tau\sigma \omega \otimes \tau\sigma \eta \otimes \tau\sigma\zeta $ \)$
$= \frac{1}{(k+l)!k!l!r!} \sum_{\sigma \in S_{k+l}} $ \sum_{\tau \in S_{k+l+r}} sgn(\tau) \(\tau \omega \otimes \tau \eta \otimes \tau\zeta $ \)$
$= \frac{1}{(k+l)!k!l!r!} (k+l)! $ \sum_{\tau \in S_{k+l+r}} sgn(\tau) \(\tau \omega \otimes \tau \eta \otimes \tau\zeta $ \)$
$= \frac{1}{k!l!r!} $ \sum_{\tau \in S_{k+l+r}} sgn(\tau) \tau \(\omega \otimes \eta \otimes \zeta $ \)$
$= \frac{1}{k!l!r!} A_{k+l+r} $\omega \otimes \eta \otimes \zeta $$
となる。いっぽう $\omega \wedge $ \eta \wedge \zeta $$ も同様にして上と同じ値になるので、結合法則が成立することがわかった。