2次対称テンソル場の局所座標表示

微分形式に入る前にもう一つの話題。
多様体 M 上の 2次の対称テンソル場 ω について考える。
ω は M の各点 p に対して $T_p(M) \times T_p(M)$ 上で実数値をとる 2次形式 $\omega_p$ を対応させる対応である。
M の p を含む座標近傍 $(U; x_1,\cdots, x_m)$ をとると、 $T^{*}_p(M) \otimes T^{*}_p(M)$ の基底として $dx_i \otimes dx_j (i=1,\cdots,m; j=1,\cdots,m)$ が取れるので、
$\Large \omega = \sum_{i,j=1}^{m} a_{i,j} dx_i \otimes dx_j$
と表される。上の成分 $a_{i,j}$ は $\frac{\partial}{\partial{x_i}}, \frac{\partial}{\partial{x_j}} \in T_p(M)$ によって
$a_{i,j} = \omega(\frac{\partial}{\partial{x_i}}, \frac{\partial}{\partial{x_j}})$ と表されたが、いまωが対称テンソル場と仮定しているので、
$a_{i,j} = \omega(\frac{\partial}{\partial{x_i}}, \frac{\partial}{\partial{x_j}}) = \omega(\frac{\partial}{\partial{x_j}}, \frac{\partial}{\partial{x_i}}) = a_{j,i}$ となる。
そこで新しい記号
$dx_i \cdot dx_j = \frac{dx_i \otimes dx_j + dx_j \otimes dx_i}{2}$
を導入すると、
$\Large \omega = \sum_{i=1}^{m} a_{i,i}dx_i \cdot dx_i + \sum_{i \lt j} a_{i,j} dx_i \cdot dx_j$
という記号で表せる。単に新しい記号で書き直しただけだが、よく使われる記号らしいので覚えておいた方がいいらしい。