セールの双対定理の証明(6)

$\displaystyle \alpha \in H^0(X,\Omega_X(-D))$
$\displaystyle \lambda = \imath_D(\alpha)$

の証明のつづき。 $\alpha$ が $H^0(X,\Omega_X(-D))$ より少し大きい $H^0(X,\Omega_X(-(D-C)))$ の元であることまではわかった。 $\alpha \in H^0(X,\Omega_X(-D))$ を示すために、 $\alpha \notin H^0(X,\Omega_X(-D))$ と仮定して矛盾が生じることを示す。

$\displaystyle \alpha \in H^0(X,\Omega_X(-D))$

とは、 $\mathrm{div}(\alpha) - D \ge 0$ が成り立つことだったので、 $\alpha \notin H^0(X,\Omega_X(-D))$ なら、 $D|_Q = m$ となる $Q \in X$ があり、
$\mathrm{div}(\alpha)|_Q - D|_Q \lt 0$
すなわち
$\mathrm{ord}_Q(\alpha) \lt m$
が成り立つ。

そこで、このような Q の近傍 $U_0$ を十分小さくとって、 $U_0$ の中に $\mathrm{Supp}(D), \mathrm{Supp}(D-C)$ の元が含まれないようにする。そうすると $\alpha$ は $U_0$ 内において Qを除いては零点も極もとらない。
$U_1 := X - \{Q\}$ とおくと、 $\mathcal{U} = $U_0, U_1$$ は $X$ の開被覆となる。

以下略