ベクトル空間の完全系列の扱い方

勉強不足でわからないことあり。
リーマン-ロッホの定理の証明の中で、ベクトル空間の長完全系列が出てくる。

$\displaystyle 0 \rightarrow H^{0}(X,\mathcal{O}_X(D^{-})) \rightarrow^{\imath^{*}} H^{0}(X,\mathcal{O}_X(D)) \rightarrow^{r^{*}} \mathbb{C}$

いま $H^{0}(X,\mathcal{O}_X(D^{-}))$ の次元は有限であることは事前にわかっているのだが、上が完全であることから、 $H^{0}(X,\mathcal{O}_X(D))$ も有限次元であることはどうしてわかるのか考えてみたい。

$\displaystyle V := \mathrm{Im}(r^{*}: H^{0}(X,\mathcal{O}_X(D)) \rightarrow \mathbb{C})$
とおく。
このとき当然 $V \subset \mathbb{C}$ である。この $V$ を使うと

$\displaystyle 0 \rightarrow H^{0}(X,\mathcal{O}_X(D^{-})) \rightarrow^{\imath^{*}} H^{0}(X,\mathcal{O}_X(D)) \rightarrow^{r^{*}} V \rightarrow 0$

が完全となる。これから

$\displaystyle \mathrm{dim}H^{0}(X,\mathcal{O}_X(D)) = \mathrm{dim}H^{0}(X,\mathcal{O}_X(D^{-})) + \mathrm{dim} V$

が躊躇無く言えるとうれしいのだが、無限次元の可能性もあることを考えると躊躇してしまう。

$\displaystyle 0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$
という形のベクトル空間の完全系列があったとき、その次元について

$\displaystyle \mathrm{dim}B = \mathrm{dim}A + \mathrm{dim}C$

と言ってしまっていいのだろうか。何か条件が必要なのだろうか。