リーマン-ロッホの定理(2)

リーマン-ロッホの定理

$h^0(\mathcal{O}_X(D)),h^1(\mathcal{O}_X(D))$ はともに有限で、次の等式を満たす：
$\displaystyle h^0(\mathcal{O}_X(D)) - h^1(\mathcal{O}_X(D)) = 1 - g + \rm{deg} D$

上の証明メモ。
まずは $\rm{deg} D \ge 0$ の場合の証明。 $\rm{deg} D$ の値に関する数学的帰納法を用いる。

$\rm{deg} D = 0$ のとき

$\mathcal{O}_X(D) = \mathcal{O}_X, \rm{deg} D = 0$ より、示すべき式の左辺は、
$\displaystyle h^0(\mathcal{O}_X(D)) - h^1(\mathcal{O}_X(D)) = h^0(\mathcal{O}_X) - h^1(\mathcal{O}_X)$
$h^1(\mathcal{O}_X)$ は $X$ の種数だから $g$ 。
$h^0(\mathcal{O}_X) = \rm{dim}_{\mathbb{C}} H^0(X,\mathcal{O}_X)$
これは $X$ 上大域的な正則関数は定数のみであることから 1 となる。よって左辺は
$\displaystyle h^0(\mathcal{O}_X(D)) - h^1(\mathcal{O}_X(D)) = 1 - g$
いっぽう $\rm{deg} D = 0$ だから
$\displaystyle h^0(\mathcal{O}_X(D)) - h^1(\mathcal{O}_X(D)) = 1 - g + \rm{deg} D$
が成立する。

$\rm{deg} D \ge 0$ のとき

$\rm{deg} D = d-1$ のときまでリーマン-ロッホの定理が正しいとして、 $\rm{deg} D = d$ のときの成立を示す。

因子 $D$ に対する $\rm{deg}$ (次数)の定義から、 $\rm{deg} D^{-} = d-1$ であるような因子は
$\displaystyle D^{-} = P_{1} + P_{2} + \cdots + P_{d-1}$
と書ける。ただし各 $P_{i}$ は $X$ の点で同じ点の重複も許して書いている。
そこで次数が $d$ の任意の因子 $D$ をとると、それは上のような形の $D^{-}$ を使って
$\displaystyle D = D^{-} + P$
と書ける。これを利用すると(5章で確認したように)、以下のような短完全系列ができる：

$\displaystyle 0 \rightarrow \mathcal{O}_X(D^{-}) \rightarrow^{\imath} \mathcal{O}_X(D = D^{-}+P) \rightarrow^{r_{P}} \mathbb{C}_{P} \rightarrow 0$

ここで $\imath$ は包含写像。
$r_{P}(U)$ は*1参照。

この短完全系列から以下のコホモロジー群の長完全系列が誘導される：

$\displaystyle \begin{eqnarray} 0 & \longrightarrow & H^{0}(X,\mathcal{O}_X(D^{-})) & \longrightarrow & H^{0}(X,\mathcal{O}_X(D)) & \longrightarrow & H^{0}(X, \mathbb{C}_{P}) = \mathbb{C} \\ &\longrightarrow & H^{1}(X,\mathcal{O}_X(D^{-})) & \longrightarrow & H^{1}(X,\mathcal{O}_X(D)) & \longrightarrow & H^{1}(X, \mathbb{C}_{P}) = 0 \end{eqnarray}$

帰納法の仮定によれば
$\displaystyle h^0(\mathcal{O}_X(D^{-})) - h^1(\mathcal{O}_X(D^{-})) = 1 - g + \rm{deg}D^{-} = 1-g+d-1=d-g$
となるから、特に $h^0(\mathcal{O}_X(D^{-})), h^1(\mathcal{O}_X(D^{-}))$ は有限であることがわかる。
上の長完全系列の

$\displaystyle \mathbb{C} \rightarrow H^{1}(X,\mathcal{O}_X(D^{-})) \rightarrow^{\imath^{*}} H^{1}(X,\mathcal{O}_X(D)) \rightarrow 0$

の部分を見る。
$H^{1}(X,\mathcal{O}_X(D^{-}))$ の次元は有限である。また完全性から $\imath^{*}$ は全射。だから $H^{1}(X,\mathcal{O}_X(D)$ の次元も有限。

また上の長完全系列の

$\displaystyle 0 \rightarrow H^{0}(X,\mathcal{O}_X(D^{-})) \rightarrow^{\imath^{*}} H^{0}(X,\mathcal{O}_X(D)) \rightarrow^{r^{*}} \mathbb{C}$
の部分を見ると、 ${\imath^{*}$ が単射であることと、 $H^{0}(X,\mathcal{O}_X(D^{-}))$ の次元が有限であることから、 $H^{0}(X,\mathcal{O}_X(D))$ の次元も有限。(でいいのかな)

これより下の長完全系列に現われる複素ベクトル空間はすべて有限次元である。

$\displaystyle \begin{eqnarray} 0 & \longrightarrow & H^{0}(X,\mathcal{O}_X(D^{-})) & \longrightarrow & H^{0}(X,\mathcal{O}_X(D)) & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ &\longrightarrow & H^{1}(X,\mathcal{O}_X(D^{-})) & \longrightarrow & H^{1}(X,\mathcal{O}_X(D)) & \longrightarrow & 0 \end{eqnarray}$

有限次元複素ベクトル空間の作る完全系列に対して、その列を作るベクトル空間の次元の交代和を作ると0であるから以下の式が成立する：

$\displaystyle -h^0(\mathcal{O}_X(D^{-}))+h^0(\mathcal{O}_X(D))-1+h^1(\mathcal{O}_X(D^{-}))-h^1(\mathcal{O}_X(D))=0$
帰納法の仮定から

$\displaystyle h^0(\mathcal{O}_X(D^{-})) - h^1(\mathcal{O}_X(D^{-})) =d-g$
だったから

$\displaystyle h^0(\mathcal{O}_X(D))-h^1(\mathcal{O}_X(D)) = 1-g+d$

となり、次数dのときも成立する//

*1: $P$ の近傍で $\mathcal{O}_X(D)(U)$ の元、すなわち点 $P$ を零点として持つような(ある条件を満たす)有理型関数 $f$ を、次のように決まる複素数 $c_0$ に対応させる写像であった：すなわち、有理型関数 $f$ は点 $P$ を1以上の零点に持つからその位数を $1+\alpha$ とすれば、 $P$ の近傍で $\displaystyle f(z) = z^{1+\alpha} $c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + \cdots $$ と表される。