コンパクトリーマン面の種数の有限性(8)

$\pi$ の全射性の証明。一昨日の続き。

任意に $b = $b_{ij}$ \in Z^1_{L_2}(\cal{U}_2)$ が与えられたとき、 $X$ 上大域的に定義された $C^{\infty}$ 級(0,1)-微分形式 $\eta$ で、大域的に $\bar{\partial}\eta = 0$ が成立するものを構成するところまで来た。この $\eta$ を利用することにより
$\displaystyle a = b + \partial^0(c)$
を満たす $a = (a_{ij}) \in Z^1_{L_2}(\cal{U}_1)$ を見出すことを次の目標とする。

$a_{ij}$ は $U_{1ij}$ 上の正則関数で2乗可積分なものでなければならないので、 $\bar{U_{1ij}}$ を含む $U_{0ij}$ 上の正則関数をまず先に構成し、それを $U_{1ij}$ に制限することで2乗可積分関数を得るいう手順で進むことにする。

$\bar{\partial}\eta = 0$ は $X$ 上大域的に成立していることから、とくに $U_{0i}$ でも成立し、

$\displaystyle \bar{\partial}\eta|_{U_{0i}} = 0$

である。そこでDolbeaultの補題を使うと、

$\eta|_{U_{0i}} = \bar{\partial} f_i$

を満たす $U_{0i}$ 上の $C^{\infty}$ 級関数 $f_i$ が存在する。

これを利用して

$\displaystyle a_{ij} = f_j - f_i$

とおく。すると

$\displaystyle \bar{\partial}a_{ij} = \bar{\partial}(f_j - f_i) = \bar{\partial}f_j - \bar{\partial}f_i = 0 (on U_{0ij})$
ゆえ、 $a_{ij}$ は $U_{0ij}$ 上の正則関数。

また、
$\displaystyle \partial^1 a_{ij} = a_{jk} - a_{ik} + a_{ij} = (f_j - f_i) - (f_k - f_i) - (f_j - f_i) = 0$
ゆえ、 $a := (a_{ij})$ は1-cocycleで $a = (a_{ij}) \in Z^1(\cal{U}_0, \cal{O}_X)$ 。
したがって自然に $a \in Z^1_{L^2}(\cal{U}_1)$ とみなすことができる。

これで $a = b + \partial^0(c)$ の $a$ ができた。
残りは $c$ 。 $a-b$ をベースに作る。

$U_{2ij}$ 上で、
$\displaystyle a_{ij}-b_{ij}=(f_j-f_i)-(\gamma_j-\gamma_i)=(f_j-\gamma_j)-(f_i-\gamma_i)$
となることから
$\displaystyle c:=(c_i)=(f_i-\gamma_i)$
とおく。すると
$\displaystyle \bar{\partial}(c_i)=\bar{\partial}(f_i-\gamma_i)=\bar{\partial}(f_i)-\bar{\partial}(\gamma_i)=\eta|_{U_{2i}}-\eta|_{U_{2i}}=0$
が $U_{2i}$ 上成立するので、 $c_i$ は $U_{2i}$ 上正則。したがって $U_{3i}$ 上正則かつ2乗可積分。ゆえに
$\displaystyle c:=(c_i) \in C^0_{L^2}(\cal{U}_3)$
そして $c$ の作り方より

$\displaystyle \partial^0 c=$c_j-c_i$=$(f_j-\gamma_j)-(f_i-\gamma_i)$=$a_{ij}-b_{ij}$$
よって目的の $c\in C^0_{L^2}(\cal{U}_3)$ の存在も示せた。

以上で完。
§6.1読了とする。