コンパクトリーマン面の種数の有限性(6)

シュワルツの補題の証明。
$\bar{V}$ はコンパクトゆえ、有限個の $V$ の元を中心とする半径 $\frac{r}{2}$ の開円板で覆うことができる(各開円板は $U$ に含まれるように $r$ をとることができる)。その有限個の $V$ の点を
$P_1,P_2,\cdots,P_m$
とする。
この $P_1,P_2,\cdots,P_m$ を利用して、

$\displaystyle L_N:= \{f \in L^2(U)|ord_{P_i}(f) \ge N (1\le \forall i \le m)\}$

とおく。

$L_N$ の元は、各点 $P_i$ でのorderがN以上。すなわち、 $P_i$ のまわりの局所座標で $f$ をTaylor展開すると

$f_i := \sum_{k=N}^{\infty} a_{k} (z - P_i)^{k}$

という形に表せることを意味する。

ここで以下のような写像 $\varphi: L^2(U) \to \oplus_{i=1}^{m} \mathbb{C}\{z-P_i\}/(z-P_i)^N$ を考える：

$\displaystyle \varphi: L^2(U) \ni f \mapsto $f_i mod((z-P_i)^N)$_{i=1}^{m} \in \oplus_{i=1}^{m} \mathbb{C}\{z-P_i\}/(z-P_i)^N$

すると $L_N = ker \varphi$ となっているので、

$\displaystyle L(U)/L_N \rightarrow^{\sim} \oplus_{i=1}^{m} \mathbb{C}\{z-P_i\}/(z-P_i)^N \simeq \mathbb{C}^{(N+1)m}$

となり、

$\displaystyle dim$L(U)/L_N$ \le \infty$

が言える。
これで $L_N$ は $L^2(U)$ の有限次元線形部分空間であることがわかった。

次に $L_N$ は $L^2(U)$ の閉部分空間であることを確認する。ここで $L_N$ が閉であることを示すには、 $L_N$ の点列 $\{f_n\}_{n\ge 0}$ で $f \in L^2(U)$ に収束するものをとったとき、 $f\in L_N$ であることを示せばよい。
ここでいう収束 $f_n \rightarrow f$ は $L^2(U)$ のノルムに関する収束で $\parallel f_n - f \parallel \rightarrow 0$ を意味している。
$L_N$ の元はすべて正則関数であるから、 $f_n$ は $U$ 上の正則関数であり、さらに $f_n$ は $f$ に $U$ 上広義一様収束している(ノルム収束⇒広義一様収束)。
正則関数列の広義一様収束極限はまた正則関数なので、 $f$ は $U$ 上の正則関数である。
各 $P_i$ の近傍で
$\displaystyle f_n = \sum_{k=0}^{\infty} f_n^{(k)}(P_i)(z-P_i)^k$
とTaylor展開すると、 $f_n \in L_N$ より、 $0 \le k \lt N$ のとき
$f_n^{(k)}(P_i) = 0$
である。ここで $n \rightarrow \infty$ とすれば
$\displaystyle f_n^{(k)}(P_i) \rightarrow f^{(k)}(P_i) = 0$
となり
$\displaystyle f = \sum_{k=N}^{\infty} f^{(k)}(P_i)(z-P_i)^k$
という形になるので、 $f \in L_N$ 。
よって $L_N$ は $L^2(U)$ の閉部分空間となることが示された。

シュワルツの補題の(1)の証明

点 $P_i$ を中心とする半径 $r$ の開円板 $\Delta(P_i,r)$ に対し、その上の2乗可積分な正則関数 $f$ のノルムは、 $f$ の $P_i$ のまわりのTaylor展開を $f_i = \sum_n a_n(z-P_i)^n$ とすれば、

$\displaystyle \begin{eqnarray} \parallel f \parallel^{2}_{L^2(\Delta(P_i,r))} &:= & \int\int_{\Delta(P_i,r)} f_i(z) \bar{f_i(z)}dxdy \\ &=& \int\int_{\Delta(P_i,r)} $\sum_n a_n(z-P_i)^n $ $\bar{\sum_k a_k(z-P_i)^k}$dxdy \\ &=& \int\int_{\Delta(P_i,r)} \sum_{n,k} a_n \bar{a_k} (z-P_i)^n \bar{(z-P_i)^k} dxdy \\ &=& \sum_{n,k} a_n \bar{a_k} \int\int_{\Delta(P_i,r)} (z-P_i)^n \bar{(z-P_i)^k} dxdy \end{eqnarray}$
上の式の最後の積分は $n\neq k$ のとき0になる。 $n=k$ のときは極座標に変換して計算すると、上式は
$\displaystyle \begin{eqnarray}\parallel f \parallel^{2}_{L^2(\Delta(P_i,r))} &=& \sum_{n} \frac{\pi r^{2n+2}}{n+1}|a_n|^2\end{eqnarray}$
以下略。