コンパクトリーマン面の種数の有限性(5)

大きな残件整理。まず補題1。

補題1

$\forall \epsilon \gt 0$ に対して、 $Z^1_{L_2}(\cal{U}_1)$ は次の(1)(2)の性質を持つ閉部分空間 $L$ を持つ：

(1) $\forall \beta \in L$ に対して $\parallel \beta \parallel_{L_{2}(\cal{U}_2)} \le \epsilon \parallel \beta \parallel_{L_{2}(\cal{U}_1)}$ を満たす。
(2) $\displaystyle dim$Z^1_{L_2}(\cal{U}_1)/L$ \lt \infty$

テキストで「シュワルツの補題」と書かれている命題を利用して証明する。1変数関数論に出てくる同じ名前の補題は、 $\mathbb{C}$ 内の開円板上の正則関数 $f$ に対して $|z|,|f(z)|$ の関係を示すものであったが、ここで使うのはその $L^2$ ノルム版らしい。

その「シュワルツの補題」として例題にあげられているものは以下の通り：

シュワルツの補題

$U,V$ は $\bar{V}\subset U$ を満たす $\mathbb{C}$ の有界領域とする。このとき
$\forall \epsilon \gt 0$ に対して、 $L^2(U)$ は次の(1)(2)の性質を持つ閉部分空間 $L$ を持つ：

(1) $\forall f \in L$ に対して $\parallel f \parallel_{L^{2}(V)} \le \epsilon \parallel f \parallel_{L^{2}(U)$ を満たす。
(2) $\displaystyle dim$Z^1_{L_2}(\cal{U}_1)/L$ \lt \infty$

補題1と比べてよく似た形であることがわかる。ここで $U := U_{1i}, V := U_{2i}$ とおけば、補題1が導かれる。