コンパクトリーマン面の種数の有限性(3)

次のステップは昨日書いたような性質を持つ $Z^1(\cal{U}_1, \cal{O}_X)$ の有限次元部分空間 $S$ の存在証明。

さて $Z^1_{L_2}(\cal{U}_1)$ は $Z^1(\cal{U}_1, \cal{O}_X)$ の部分空間であったが、
$\forall \epsilon \gt 0$ を与えると、 $Z^1_{L_2}(\cal{U}_1)$ は次の(1)(2)の性質を持つ閉部分空間 $L$ を持つ：

(1) $\forall \beta \in L$ に対して $\parallel \beta \parallel_{L_{2}(\cal{U}_2)} \le \epsilon \parallel \beta \parallel_{L_{2}(\cal{U}_1)}$ を満たす。
(2) $\displaystyle dim$Z^1_{L_2}(\cal{U}_1)/L$ \lt \infty$

この命題も証明するのにとても長い準備が必要だが、まずは事実として認めておくことにする。

この $L$ に対して
$\displaystyle S := L^{\perp}$
とおいてやることによって、目的の $S$ が構成されるようだ。

$L^{\perp}$ はヒルベルト空間 $Z^1_{L_2}(\cal{U}_1)$ での $L$ の直交補空間で
$\displaystyle Z^1_{L_2}(\cal{U}_1) = L \oplus S$
となる。
ここで $Z^1_{L_2}(\cal{U}_1)$ がヒルベルト空間であることが利用される。

さらに次の命題も事実として認めておく(これも証明に長い準備が必要)：

次の条件を満たす $C \gt 0$ が存在する：
$\forall \beta \in Z^1_{L_2}(\cal{U}_2)$ に対し、
$\exist \alpha \in Z^1_{L_2}(\cal{U}_1),$
$\exist \gamma \in C^0_{L_2}(\cal{U}_3) :$
$(1) \alpha = \beta + \partial^0(\gamma)$ (in $\cal{U}_3$ )
$(2) \parallel \alpha \parallel_{L_{2}(\cal{U}_1)} \le C \parallel \beta \parallel_{L_{2}(\cal{U}_2)}, \parallel \gamma \parallel_{L_{2}(\cal{U}_3)} \le C \parallel \beta \parallel_{L_{2}(\cal{U}_2)}$

つづく