コンパクトリーマン面の種数の有限性(2)

$\displaystyle \tau_1^3: H^{1}(\cal{U}_1, \cal{O}_X) \tilde{\rightarrow} H^{1}(\cal{U}_3, \cal{O}_X)$
のimageの次元を求めるのが次の目標。

$\displaystyle H^{1}(\cal{U}_1, \cal{O}_X) = Z^{1}(\cal{U}_1, \cal{O}_X)/B^{1}(\cal{U}_1, \cal{O}_X)$

であるから、 $H^{1}(\cal{U}_1, \cal{O}_X)$ の任意の元は、 $Z^{1}(\cal{U}_1, \cal{O}_X)$ の元を代表元とする同値類で表される。
そこで $\beta \in Z^{1}(\cal{U}_1, \cal{O}_X)$ はどんなものなのかを調べてみる。
$X$ の開被覆 $\cal{U}_1$ から任意に2つの $U_{1i}, U_{1j}$ で $U_{1ij} := U_{1i} \cap U_{1j} \neq \empty$ を満たすものを取り出す。 $\beta$ は各 $U_{1ij}$ 上の正則関数 $b_{ij}$ を一つずつ選んで並べたものに相当する：

$\displaystyle \beta := $b_{ij}$_{1\le i,j \le n_{0}}$

但し、各 $b_{ij}$ はco-cycleであるから
$\displaystyle b_{jk} - b_{ik} + b_{ij} = 0$
を満たす。

ここで各 $b_{ij}$ は開円板 $U_{1ij}$ 上の正則関数である。開被覆 $\cal{U}_2$ は $\cal{U}_1$ の細分で
$\bar{U_{2ij}} \subset U_{1ij}$
を満たす。これを使うと $b_ij$ は $U_{2ij}$ 上2乗可積分となる( $U_{2ij}$ の局所座標を $z=x+\sqrt{-1}y)$ と書いた)：

$\displaystyle \int_{U_2ij} |b_{ij}(z)|^2 dx\wedge dy \lt \infty$

そこで $\beta$ を $Z^1_{L^{2}}(\cal{U}_2)$ *1の元とみなすことができる。 $\beta$ は必ずしも $U_{1ij}$ 上では2乗可積分ではないので、 $\cal{U}_2 \gt \cal{U}_1$ という細分を考えるのが一つのポイントらしい。
$Z^1_{L^{2}}(\cal{U}_2)$ はヒルベルト空間である(テキストではこれを示すのに延々と準備が続いた)ので、ヒルベルト空間の性質をうまく使うように持ち込まんとする。

つづき

$\displaystyle Z^1(\cal{U}_1, \cal{O}_X)$ の有限次元部分空間 $S$ で次の性質を持つものが存在したとする：

$\forall b \in Z^1(\cal{U}_1, \cal{O}_X)$ に対して、ある $a \in S, c \in C^0(\cal{U}_3, \cal{O}_X)$ があり
$\displaystyle a = b + \partial^{0}(c)$
が成立する。
(等式は $Z^1(\cal{U}_3, \cal{O}_X)$ 内の式)

このとき

$\displaystyle Im(\tau_1^3) = \tau_1^3(S)$

となるそうだ。 $\tau_1^3(S) \subset Im(\tau_1^3)$ は明らか。
$Im(\tau_1^3) \subset \tau_1^3(S)$ が成立するか確認してみる：

$t \in Im(\tau_1^3)$ とすると、ある $\beta \in Z^1(\cal{U}_1, \cal{O}_X)$ があり
$\displaystyle t = \tau_1^3([\beta]) = [\beta |_{\cal{U}_3}]$
となる。この $\beta$ に対して上のような $S$ の存在を仮定すれば、
ある $a \in S, c \in C^0(\cal{U}_3, \cal{O}_X)$ があり

$\displaystyle a = \beta + \partial^{0}(c)$

が成立。
このとき $a$ と $\beta$ は同じコホモロジー類に所属するから、
$\displaystyle t = [\beta |_{\cal{U}_3}] = [a |_{\cal{U}_3}] = \tau_1^3([a])$
となる。
よって $t \in \tau_1^3(S)$ より
$Im(\tau_1^3) \subset \tau_1^3(S)$ が成立する。