因子に付随する層 - 第2kame日記

少しずつ具体的な話になってくる。
リーマン面 $X$ 上の因子 $D$ が一つ与えられたとする。このとき、以下のような層 $\cal{F}$ が定まる：

$\displaystyle \cal{F}(U) := \{f \in \cal{M}_X(U) \| div(f)+D|_{U} \ge 0 \}$

$\cal{F}(U)$ は $U$ 上の有理型関数の層 $\cal{M}_X$ の切断 $\cal{M}_X(U)$ の部分空間である。 $D|_{U}$ は因子 $D$ を
$\displaystyle D = \sum_{P\in X} n_P P$
と表したとき、
$\displaystyle D|_{U} := \sum_{P\in U} n_P P$
で定義される。因子に対する不等号の意味であるが、上のDについて $D \ge 0$ とは、任意の $P \in X$ について $n_P \ge 0$ と定義される。 $D \ge 0$ を満たす因子を、効果的な因子と呼ぶことがある。

上で定義された層 $\cal{F}$ を因子 $D$ に付随する層という。あとで6,7章でとても役に立つそうだ。