因子、層の短完全系列

インフルエンザでダウンしてからしばらくお休みしていたがやっと復活。この間、p121§5.5まで読了した。

位相空間 $X$ 上の層と準同型の系列
$\displaystyle \cal{F} \longrightarrow^{\alpha} \cal{G} \longrightarrow^{\beta} \cal{H} \longrightarrow \cdots$ (列1)
があったとき、任意の $P \in X$ に関して

$\displaystyle \cal{F}_P \longrightarrow^{\alpha_P} \cal{G}_P \longrightarrow^{\beta_P} \cal{H}_P \longrightarrow \cdots$

が完全列となるとき、上の(列1)を層の完全系列という。

$\displaystyle 0 \longrightarrow \cal{F} \longrightarrow^{\alpha} \cal{G} \longrightarrow^{\beta} \cal{H} \longrightarrow 0$

の形の系列を、層の短完全系列という。

$X$ をリーマン面とするとき、次のような層の短完全系列ができる。
$\displaystyle 0 \longrightarrow \cal{O}_X \longrightarrow^{\imath} \cal{O}_X(P) \longrightarrow^{r} \mathbb{C}_P \longrightarrow 0$
$\displaystyle 0 \longrightarrow \cal{O}_X(-P) \longrightarrow^{\imath} \cal{O}_X \longrightarrow^{r} \mathbb{C}_P \longrightarrow 0$