因子(2) - 第2kame日記

リーマン面 $X$ の各点 $P$ に対して整数 $n_P$ が与えられているとする。これを使って以下のような形式的な和を作る。

$\displaystyle D = \sum_{P \in X} n_P P$

$\displaystyle Supp D := \{P \in X \| n_P \neq 0\}$
とおく。
この $Supp D$ が $X$ の離散部分集合であるとき、 $D$ を $X$ の因子という。

$f$ をリーマン面 $X$ 上の有理型関数とするとき、各 $P\in X$ に対し $f$ に関するその位数 $ord_P(f)$ が定まった。これは $P$ が零点ならその零点としての位数、極なら極としての位数にマイナスをつけたもの、零点でも極でもなければ0として決まった。これを利用して、 $X$ の開集合 $U$ 上の因子の例として、

$\displaystyle div(f) := \sum_{P \in U} ord_P(f) P$

が定まる。これが有理型関数 $f$ の定める因子。