層化 - 第2kame日記

前層の層化でつまづく。むずかしい。
前層であって層の条件 S1(一致の原理)とS2(貼り合わせの原理)の両方を必ずしも満たさないような $\cal{F}$ があったとき、各点におけるストークからその元(芽)をかき集めてくることにより層を作ることができる。この層を $\cal{F}^{a}$ と書くそうだ。具体的には以下のように構成できる。なかなかむずかしい。

$\displaystyle \cal{F}^{a}(U) := \{$s^{P}$_{P \in U} \in \prod_{P\in U} \cal{F}_P \| \forall P \in U, P \in \exist W \subset U, \exist t \in \cal{F}(W) s.t. s^Q = t_Q $\forall Q \in W $\}$

前層 $\cal{F}$ が与えられると、 $\cal{F}(U)$ の任意の元 $s$ をもとに、各 $P \in U$ におけるストーク $\cal{F}_P$ の元が決まる。すなわち $s$ を代表とするような同値類 $[s] \in \cal{F}_P$ をとればよい。この $[s]$ を $s_P$ という記号で表す。この $s_P$ は上の式の条件を満たし、 $\cal{F}^{a}(U)$ の元になっていることが確かめられる。そこで前層 $\cal{F}$ から層 $\cal{F}^{a}$ への準同型 $\imath: \cal{F} \to \cal{F}^{a}$ を以下で定めることができる。

$\displaystyle \imath: \cal{F}(U) \ni s \mapsto $P \mapsto s_P$ \in \cal{F}^{a}(U)$

$\cal{F}$ が層なら $\imath$ は同型となるそうだが、(S1)あるいは(S2)が満たされなくて層にならないと同型にはならず、 $\cal{F}(U)$ の一部の元が層であるためにはマズイふるまいをするらしい。
しかし、ストークをとると

$\imath_P: \cal{F}_P \to \cal{F}^{a}_P$

は必ず同型となる。

対 $\cal{F}^{a}, \imath$ を前層 $\cal{F}$ の層化という。

層化の普遍性

上のように前層 $\cal{F}$ の層化 $\cal{F}^{a}, \imath$ を定義する。
そして前層 $\cal{F}$ からある層 $\cal{G}$ への準同型 $\varphi: \cal{F} \to \cal{G}$ があったとする。このとき準同型
$\displaystyle \varphi^a: \cal{F}^a \to \cal{G}$
で
$\displaystyle \varphi = \varphi^a \circ \imath$
を満たすものが一意に定まる。
その証明メモ：

$\displaystyle \begin{array} \cal{F}(U) & \longrightarrow^{\varphi(U)} & \cal{G}(U) \\ \longdownarrow^{(\imath^{\cal{F}})(U)} & & \longdownarrow^{(\imath^{\cal{G}})(U)} \\ \cal{F}^{a}(U) & & \cal{G}^{a}(U) \end{array}$

上の図式より $\tilde{\varphi}(U): \cal{F}^{a}(U) \rightarrow \cal{G}^{a}(U)$ が誘導されて、

$\displaystyle \begin{array} \cal{F}(U) & \longrightarrow^{\varphi(U)} & \cal{G}(U) \\ \longdownarrow^{(\imath^{\cal{F}})(U)} & & \longdownarrow^{(\imath^{\cal{G}})(U)} \\ \cal{F}^{a}(U) & \longrightarrow^{\tilde{\varphi}(U)} & \cal{G}^{a}(U) \end{array}$

という可換図式ができる。

次に上の図式で右の縦の列をみると、これは同型である。なぜなら、まず
$\imath^{\cal{G}}_P: \cal{G}_P \to \cal{G}^{a}_P$
が同型であること。そして $\cal{G}$ と $\cal{G}^a$ はともに層なので、 $\imath{\cal{G}}$ が同型であることと $(\imath{\cal{G}})_P$ が同型であることは同値(例題5.13 p108)。
したがって $$\imath^{\cal{G}}$^{-1}$ が存在するので、これを使うと、

$\displaystyle \varphi^{a}(U) := (\imath^{\cal{G}}(U))^{-1} \circ \tilde{\varphi}(U)$

が定義できる。これにより $\varphi = \varphi^a \circ \imath$ が一意に定まる。