前層のストーク - 第2kame日記

$\cal{F}$ を位相空間 $X$ 上の前層とする。
$X$ の点 $P \in X$ の近傍全体を $\cal{U}_{P}$ とする。

$\displaystyle \bigsqcup_{U\in \cal{U}_{P}} \cal{F}(U)$
を考える。
点 $P \in \mathbb{C}$ の開近傍 $U$ 上の正則関数全体の空間などをイメージすると理解しやすそうである。
$U$ 毎にその上の正則関数は無数にあるから、これはとてもでかい空間である。この空間に以下のように同値関係を定義する。

$a, b \in \bigsqcup_{U\in \cal{U}_{P}} \cal{F}(U)$ に対して、 $a$ が含まれる $\cal{F}(U_a)$ と $b$ が含まれる $\cal{F}(U_b)$ を取る。 $P$ の近傍 $W$ で $W \subset U_a \cap U_b$ となるものが存在して
$\displaystyle r_{W U_a}^{\cal{F}}(a) = r_{W U_b}^{\cal{F}}(b)$
であるとき、 $a$ と $b$ は同値であるといい、
$\displaystyle a \sim b$
と書く。
点 $P \in \mathbb{C}$ の開近傍 $U$ 上の正則関数 $f$ と $V$ 上の正則関数 $g$ が同値であるということを、 $W \subset U \cap V$ となる点 $P \in \mathbb{C}$ の開近傍 $W$ があって、
$\displaystyle f|_W = g|_W$
と定義していると思うとわかりやすい。