リーマン球面の種数

第6章「コンパクトリーマン面の種数とリーマン-ロッホの定理」に入る。

コンパクトリーマン面 $X$ に対して、 $H^1(X, \cal{O}_X)$ の次元を $X$ の種数といい、
$h^1(\cal{O}_X)$ あるいは $g(X)$ などと表す。
$H^1(X, \cal{O}_X)$ の次元は無限次元でないことがこの後示され、それゆえコンパクトリーマン面の種数は正または0 の整数となる。
最初にコンパクトリーマン面の一つ、リーマン球面 $\mathbb{P}^1$ の種数が 0であること：

$\displaystyle g(\mathbb{P}^1) := H^1(\mathbb{P}^1, \cal{O}_{\mathbb{P}^1}) = 0$

が、 $\mathbb{P}^1$ の $\cal{O}_{\mathbb{P}^1}$ 係数1次元チェックコホモロジー群の定義に基づき詳しく説明されている。
前章の復習と飛ばしたところで必要なところの学習を兼ねて、ポイントをメモっておく。

ポイントは1〜2章で詳しく見たように、リーマン球面 $\mathbb{P}^1$ が2つの複素平面の貼り合わせとして、

$\displaystyle \mathbb{P}^1 = U_0 \cup U_1$

ただし、

$\displaystyle U_0 := \{[X_0:X_1] \in \mathbb{P}^1 | X_0 \ne 0 \} = \mathbb{C}_w$
$\displaystyle U_1 := \{[X_0:X_1] \in \mathbb{P}^1 | X_1 \ne 0 \} = \mathbb{C}_z$

と表せることを利用する。
$\cal{U} = \{U_0, U_1\}$ はリーマン球面 $\mathbb{P}^1$ の開被覆となっており、 $U_0, U_1$ はそれぞれ $\mathbb{C}$ に同相である。

前章のおしまいの方で
$\displaystyle H^1(\mathbb{C}, \cal{O}_{\mathbb{C}}) = 0$
という消滅定理を、Dolbaultの補題を仮定して証明しているので、これは既知として利用させていただく。
すると、 $U_0 \simeq \mathbb{C}, U_1 \simeq \mathbb{C}$ より、

$\displaystyle H^1(U_0, \cal{O}_{\mathbb{P}^1}|_{U_0}) = 0$
$\displaystyle H^1(U_1, \cal{O}_{\mathbb{P}^1}|_{U_1}) = 0$

となる。ここで
$\cal{O}_{\mathbb{P}^1}|_{U_0}$
というのは、 $\cal{O}_{\mathbb{P}^1}$ を $U_0$ に制限して得られる層で、開集合 $U \subset U_0$ に対して
$\cal{O}_{\mathbb{P}^1}|_{U_0} (U) := \cal{O}_{\mathbb{P}^1}(U)$
等で定義されていた。いま $U_0 \simeq \mathbb{C}$ だから上の $U$ は複素平面上の任意の開集合ということになり、 $\mathbb{C}$ 上の層と見なせるから、

$\displaystyle H^1(U_0, \cal{O}_{\mathbb{P}^1}|_{U_0}) = H^1(\mathbb{C}, \cal{O}_{\mathbb{C}}) = 0$

である。 $U_1$ も同様。

これによって、リーマン球面 $\mathbb{P}^1$ の開被覆 $\cal{U} = \{U_0, U_1\}$ は前章p130で定義されたルレイ被覆となるので、補題5.42が使えて

$\displaystyle H^1(\mathbb{P}^1, \cal{O}_{\mathbb{P}^1}) \simeq H^1(\cal{U}, \cal{O}_{\mathbb{P}^1})$

となる。従って被覆 $\cal{U}$ についてのチェックコホモロジーを計算すればよいことになった。

チェックコホモロジーの計算

$\displaystyle H^1(\cal{U}, \cal{O}_{\mathbb{P}^1}) = Z^1(\cal{U}, \cal{O}_{\mathbb{P}^1})/B^1(\cal{U}, \cal{O}_{\mathbb{P}^1})$
を求めたい。

$\displaystyle Z^1(\cal{U}, \cal{O}_{\mathbb{P}^1}) := ker$ \partial^1: C^1(\cal{U}, \cal{O}_{\mathbb{P}^1}) \to C^2(\cal{U}, \cal{O}_{\mathbb{P}^1})$$
であったので、 $f \in Z^1(\cal{U}, \cal{O}_{\mathbb{P}^1})$ は、
$\displaystyle f = $f_{00},f_{01},f_{10},f_{11}$$
という形で、fの各要素はそれぞれ
$f_{00} \in \cal{O}_{\mathbb{P}^1}(U_{00}) = \cal{O}_{\mathbb{P}^1}(U_{0} \cap U_{0})$
$f_{01} \in \cal{O}_{\mathbb{P}^1}(U_{01}) = \cal{O}_{\mathbb{P}^1}(U_{0} \cap U_{1})$
$f_{10} \in \cal{O}_{\mathbb{P}^1}(U_{10}) = \cal{O}_{\mathbb{P}^1}(U_{1} \cap U_{0})$
$f_{11} \in \cal{O}_{\mathbb{P}^1}(U_{11}) = \cal{O}_{\mathbb{P}^1}(U_{1} \cap U_{1})$
であって、これらは $ker \partial^1$ の元だから各 $i,j = 0,1$ に対して(いま $\cal{U}$ は $U_0,U_1$ のみからなる)
$\displaystyle \partial^1 f_{ij} = 0$
を満たす。 $\partial^1$ という写像は以下のように定義されていた(5章)：

$\displaystyle \partial^1 f_{ij} := f_{ijk} = f_{jk} - f_{ik} + f_{ij}|_{U_{ijk}}$

上式で $j=i$ とすると

$\displaystyle \partial^1 f_{ii} = f_{iik} = f_{ik} - f_{ik} + f_{ii}|_{U_{iik} = f_{ii}|_{U_{iik}$
となる。これが0だから $f_{ii} = 0$ なので、 $f_{00} = f_{11} = 0$ 。
また、上式でiとjを入れ替えて足すと、 $f_{ij} = -f_{ji}$ がわかる。したがって $f_{01} = -f_{10}$ なので、まとめると $Z^1(\cal{U}, \cal{O}(\mathbb{P}^1))$ の元 $f$ は、

$\displaystyle f = $0,f_{01},-f_{01},0$$

と表されることがわかる。上より $f$ は $f_{01} \in \cal{O}_{\mathbb{P}^1}(U_0 \cap U_1)$ で決まることがわかる。いま
$\displaystyle U_0 = \mathbb{C}_w, U_1 = \mathbb{C}_z$
でリーマン球面の定義から、
$\displaystyle U_0 \cap U_1 = \mathbb{C}_w - \{0\}$
である。したがって、 $f_{01}$ は複素平面から原点1点を除いた領域で正則な関数である。そこで $f_{01}$ は原点のまわりでローラン展開できて、