命題いくつか - 第2kame日記

演習問題の形で下のようにいくつかの命題が挙げられている。これらを解くとだんだん層が感覚的につかめるようになってきた感じがする。

層の同型とストークの同型

位相空間 $X$ 上の層 $\cal{F},\cal{G}$ と層の準同型 $\varphi: \cal{F} \to \cal{G}$ に対して、
$\varphi$ が同型写像 ⇔ $\varphi_P: \cal{F}_P \to \cal{G}_P$ が同型写像

層となるための条件の一つ

$\cal{F}$ が層、 $\cal{G}$ が前層で、 $\cal{F}$ と $\cal{G}$ が前層として同型なら、 $\cal{G}$ は層。

層の直和

$\cal{F},\cal{G}$ が層のとき、
$\displaystyle \cal{F} \oplus \cal{G} : U \mapsto $\cal{F} \oplus \cal{G}$(U) := \cal{F}(U) \oplus \cal{G}(U)$
$\displaystyle r_{VU}^{\cal{F} \oplus \cal{G}} := r_{VU}^{\cal{F}} \oplus r_{VU}^{\cal{G}}$
で定義される $\cal{F} \oplus \cal{G}$ も層。

ほかいろいろ。