リーマンの関係式(2)

リーマンの関係式(ii)

$H = \sqrt{-1} ^t\Omega J \bar{\Omega}$ とおくと、 $H$ はエルミート行列で、
$H = \sqrt{-1} ^t\Omega J \bar{\Omega} > 0$ (正定値)

エルミート行列Hが正定値であることを示すには、
$\forall c = (c_1,\cdots,c_g) \in \mathcal{C}^g$ に対して
$c^{*}Hc = {}^t\bar{c}Hc > 0$
を示せばよい。

$\displaystyle \begin{eqnarray} H &=& \sqrt{-1} ^t\Omega J \bar{\Omega} \\ &=& \sqrt{-1} \begin{pmatrix} {}^t A & {}^t B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} O & I_g \\ -I_g & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bar{A} \\ \bar{B} \end{pmatrix} \\ &=& \sqrt{-1} \begin{pmatrix} {}^t A & {}^t B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bar{B} \\ -\bar{A} \end{pmatrix} \\ &=& \sqrt{-1} \begin{pmatrix} {}^t A\bar{B} - & {}^t B\bar{A} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$

したがって $H$ の $i,j$ 成分を $H_{ij}$ と表すことにすれば、

$\displaystyle \begin{eqnarray} H_{ij} &=& \sqrt{-1} ${}^t A \bar{B} - {}^t B\bar{A}$_{ij} \\ &=& \sqrt{-1} \sum_{k=1}^{g} $ ({}^t A)_{ik} (\bar{B})_{kj} - ({}^t B)_{ik} (\bar{A})_{kj} $ \\ &=& \sqrt{-1} \sum_{k=1}^{g} $ a_{ki} \bar{b_{kj}} - b_{ki} \bar{a_{kj}} $ \\ &=& \sqrt{-1} \sum_{k=1}^{g} $ \int_{\alpha_k} \omega_i \int_{\beta_k} \bar{\omega_j} - \int_{\beta_k} \omega_i \int_{\alpha_k} \bar{\omega_j} $ \end{eqnarray}$

となる。

よって
$\omega = \sum_{i=1}^{g} \bar{c_i} \omega_i$ とおけば、

$\displaystyle \begin{eqnarray} c^{*}Hc &=& {}^t\bar{c}Hc \\ &=& \sum_{i=1}^{g} \sum_{j=1}^{g} \bar{c_i} H_{ij} c_j \\ &=& \sum_{i=1}^{g} \sum_{j=1}^{g} \bar{c_i} $\sqrt{-1} \sum_{k=1}^{g} \( \int_{\alpha_k} \omega_i \int_{\beta_k} \bar{\omega_j} - \int_{\beta_k} \omega_i \int_{\alpha_k} \bar{\omega_j} $ \) c_j \\ &=& \sqrt{-1} \sum_{i=1}^{g} \sum_{j=1}^{g} \bar{c_i} $\sum_{k=1}^{g} \( \int_{\alpha_k} \omega_i \int_{\beta_k} \bar{\omega_j} - \int_{\beta_k} \omega_i \int_{\alpha_k} \bar{\omega_j} $ \) c_j \\ &=& \sqrt{-1} \sum_{i=1}^{g} \sum_{j=1}^{g} \sum_{k=1}^{g} $ \int_{\alpha_k} \bar{c_i} \omega_i \int_{\beta_k} c_j \bar{\omega_j} - \int_{\beta_k} \bar{c_i} \omega_i \int_{\alpha_k} c_j \bar{\omega_j} $ \\ &=& \sqrt{-1} \sum_{k=1}^{g} $ \int_{\alpha_k} \sum_{i=1}^{g} \bar{c_i} \omega_i \int_{\beta_k} \sum_{j=1}^{g} c_j \bar{\omega_j} - \int_{\beta_k} \sum_{i=1}^{g} \bar{c_i} \omega_i \int_{\alpha_k} \sum_{j=1}^{g} c_j \bar{\omega_j} $ \\ &=& \sqrt{-1} \sum_{k=1}^{g} $ \int_{\alpha_k} \sum_{i=1}^{g} \bar{c_i} \omega_i \int_{\beta_k} \bar{\sum_{j=1}^{g} \bar{c_j} \omega_j} - \int_{\beta_k} \sum_{i=1}^{g} \bar{c_i} \omega_i \int_{\alpha_k} \bar{ \sum_{j=1}^{g} \bar{c_j} \omega_j } $ \\ &=& \sqrt{-1} \sum_{k=1}^{g} $ \int_{\alpha_k} \omega \int_{\beta_k} \bar{\omega} - \int_{\beta_k} \omega \int_{\alpha_k} \bar{ \omega } $ \end{eqnarray}$

となる。

つづく