2012-04-23

リーマンの関係式

Rを種数gのコンパクトリーマン面とする。
$\alpha_1,\cdots,\alpha_g, \beta_1,\cdots,\beta_g$ をRの標準ホモロジー基底、
$\omega_1,\cdots,\omega_g$ をR上の一次独立な正則微分の組とする。

$A = \begin{pmatrix} \int_{\alpha_1}\omega_1 & \cdots & \int_{\alpha_1}\omega_g \\ \vdots & & \vdots \\ \int_{\alpha_g}\omega_1 & \cdots & \int_{\alpha_g}\omega_g \end{pmatrix}$
$B = \begin{pmatrix} \int_{\beta_1}\omega_1 & \cdots & \int_{\beta_1}\omega_g \\ \vdots & & \vdots \\ \int_{\beta_g}\omega_1 & \cdots & \int_{\beta_g}\omega_g \end{pmatrix}$
$\Omega = \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}$
とおく。 $\Omega$ を周期行列と呼ぶ。

$J = \begin{pmatrix} O & I_g \\ -I_g & O \end{pmatrix}$
とおく。

リーマンの関係式(i)

${}^t\Omega J \Omega = 0$

リーマンの関係式(ii)

$H = \sqrt{-1} ^t\Omega J \bar{\Omega}$ とおくと、 $H$ はエルミート行列で、
$H > 0$ (正定値)

この証明に手間取ったので、証明のポイントをメモしておく。

Hがエルミート行列であることは簡単に示せるが、問題はHが正定値であること。

$\forall c = (c_1,\cdots,c_g) \in \mathcal{C}^g$ に対して
$c^{*}Hc = {}^t\bar{c}Hc > 0$
を示せばよい。

（つづく）

2012-03-30

Abelの定理(2)

リーマン面

一昨日の続き。
$S(z) = \Phi + i \Psi = i \log$\frac{z - \beta}{1 - \bar{\beta} z} /\frac{z - \alpha}{1 - \bar{\alpha} z} $$

命題2

$\partial \bar{U_0}$ 上では $\Psi = \mathrm{Im}S(z) = 0$

命題2は容易に示せる。
命題2が成立すると、ディリクレの原理が使えて、 $d\Phi$ と同じ特異性を持つコンパクトリーマン面 $R$ 上の調和1形式 $\varphi$ が存在することがわかる。

小平「複素解析III」の第6章定理6.19によれば、 $\varphi + i \ast\varphi$ は $dS(z)$ と同じ特異性を持つ $R$ 上の Abel微分となる。そこで $dS(z)$ の極を調べてみる。

$f$ を $U_0$ 上の有理型関数とすると $d\log(f) = \frac{df}{f}$ だから $f$ の零点と、 $df$ の極が $d\log(f)$ の極となる。
$f(z) = \frac{z - \beta}{1 - \bar{\beta} z} /\frac{z - \alpha}{1 - \bar{\alpha} z}$
とおくと
$f(z) = \frac{z - \beta}{1 - \bar{\beta} z} /\frac{z - \alpha}{1 - \bar{\alpha} z} = \frac{(z - \beta)(1 - \bar{\alpha} z)}{(z - \alpha) (1 - \bar{\beta} z) }$
なので $U_0$ 上の関数 $f$ は $\alpha$ を1位の零点として持ち、 $\beta$ を1位の極として持つ。それ以外の点では正則。
$\alpha$ は $f$ の1位の零点なので $\alpha = z(P)$ の近傍では
$f(z) = (z-\alpha)g(z), g(\alpha) \neq 0$ ( $g$ は正則])
と表せる。
$\frac{df}{dz} = g(z)+g'(z)(z-\alpha)$
ゆえ $\alpha$ の近傍で
$\frac{df}{f} = \{ \frac{g(z)+g'(z)(z-\alpha)}{ (z-\alpha)g(z)} \}dz = \{ \frac{1}{z-\alpha} + \frac{g'(z)}{g(z)} \}dz$
また $\beta$ は $f$ の1位の極ゆえ $\beta$ の近傍で、
$f(z) = \frac{1}{z-\beta}h(z), h(\beta) \neq 0$ ( $h$ は正則])
と表せる。
したがって $\beta$ の近傍で
$\frac{df}{f} = \{ \frac{ \frac{h'(z)}{z - \beta} - \frac{h(z)}{(z - \beta)^2} }{ h(z) / (z-\beta) } \}dz = \{ \frac{-1}{z - \beta} + \frac{h'(z)}{h(z)} \}dz$

以上から $df/f$ は $\alpha=z(P)$ を1位の極として持ち、その留数は1、 $\beta=z(Q)$ を1位の極として持ち、その留数は-1である。

よって
$d\log(f) = \frac{df}{f} = \frac{-dz}{z - \alpha} + \frac{dz}{z - \beta} + (hol.1-form)$
と表せる。

$dS = i d\log(f)$ ゆえ
$-i dS = d\log(f) = \frac{-dz}{z - \alpha} + \frac{dz}{z - \beta} + (hol.1-form)$

そこで
$\omega_{PQ} = -i(\varphi + i \ast \varphi)$
とおけば、 $\omega_{PQ}$ が以下の性質を持つ第3種Abel微分となる：

$R$ 上の任意の2点 $P,Q$ に対して、 $R$ 上 $P,Q$ を除いて正則で、 $P,Q$ において1位の極を持つ第3種Abel微分が存在する。

2012-03-29

R言語による等角写像のグラフ化

複素解析 R

R言語は複素数型を扱えるので、複素解析のお勉強に大変便利である。

$h(z) = {\frac{z - \beta}{1 - \bar{\beta} z} / \frac{z - \alpha}{1 - \bar{\alpha} z} }$
とおくと、 $w = h(z)$ で定義される写像は、単位円を単位円に写す。

昨日定義した上の写像hは、単位円を単位円に写すらしいが、本当かどうかR言語で確認してみる。

まず w = h(z)を定義。

#等角写像 w = h(z) の定義
# h(z) = {(z-b)/(1-(b~)z} / {(z-a)/(1-(a~)z}
h <- function(z, a, b)
{
	bunshi <- (z - b) / (1 - Conj(b) * z)
	bunbo <- (z - a) / (1 - Conj(a) * z)
	w <- bunshi / bunbo
	return(w)
}

z平面上の単位円は、一意化パラメータθを使うと、 $z = \exp(i\theta), \theta \in [0,2\pi]$ と表わされるので、

theta <- seq(0,2*pi,len=100)	
z <- exp(1i * theta)			#単位円の出来上がり

z平面上の単位円を、等角写像hでw平面上に写してみる。
α=0.5,β=-0.5 の場合をグラフ化してみる。

alpha <- 0.5+0i
beta <- -0.5+0i
w <- h(z, alpha, beta)

plot.new()
par(mfrow=c(1,2))
plot(z, type="l"); title("z平面上の単位円")		#z平面上の単位円
plot(w, xlim=c(-1,1), ylim=c(-1,1), type="l"); title("w平面")	#h(z)

これでz平面の単位円は、hによって w平面上の単位円上に写されることがわかった。

2012-03-28

Abelの定理

リーマン面

$R$ をコンパクトリーマン面とする。

定理

$R$ 上の任意の2点 $P,Q$ に対して、 $R$ 上 $P,Q$ を除いて正則で、 $P,Q$ において1位の極を持つ第3種Abel微分が存在する。

PとQがRの一つの局所座標円板内にある場合

まず $P, Q$ が $R$ 上の一つの局所座標円盤 $U_0 = \{p \in R \| |z(p)| \lt 1\}$ 内にある場合の上の定理の証明を考える。
局所パラメータ $z$ の関数 $S(z)$ を以下で定義する。

$S(z) = \Phi + i \Psi = i \log{$\frac{z - \beta}{1 - \bar{\beta} z} / \frac{z - \alpha}{1 - \bar{\alpha} z}$ }$
ただし $\alpha = z(P), \beta = z(Q)$ とする。

命題1

$U_0$ 内で $\alpha, \beta$ を結ぶ線分を $\sigma$ とすると、 $S(z)$ は $U_0 - |\sigma|$ において1価正則である。

証明：
$w = h(z) = \frac{z - \beta}{1 - \bar{\beta} z} / \frac{z - \alpha}{1 - \bar{\alpha} z}$
とおくと、
$h(\beta) = \frac{\beta - \beta}{1 - \bar{\beta} \beta} / \frac{\beta - \alpha}{1 - \bar{\alpha} \beta} = \frac{0}{1 - |\beta|^2} / \frac{\beta - \alpha}{1 - \bar{\alpha} \beta} = 0$
なぜならば
$|\beta|^2 \lt 1, \alpha \neq \beta, |\bar{\alpha} \beta|^2 = \bar{\alpha} \beta \bar{\bar{\alpha} \beta} = $\bar{\alpha}\alpha$$\beta\bar{\beta} $ = |\alpha|^2|\beta|^2 \lt 1$
だから。

さらに
$h(\alpha) = \frac{\alpha - \beta}{1 - \bar{\beta} \alpha} / \frac{\alpha - \alpha}{1 - \bar{\alpha} \alpha} = \frac{\alpha - \beta}{1 - \bar{\beta} \alpha} / \frac{0}{1 - |\alpha|^2} = \infty$

従って $z$ 平面における $\beta, \alpha$ は写像 $h$ によって $w$ 平面の $0$ と無限遠点に写る。 $h$ によって $z$ 平面上の線分 $\sigma$ は $w$ 平面上、原点から無限遠点に至る直線に至る。 $w$ 平面からこの直線を除いた領域で $\log$ は１価正則。従ってやはり $U_0$ から $|\sigma|$ を除いた集合上で１価正則である $h$ との合成関数である $S(z)$ は $U_0 - |\sigma|$ 上の１価正則関数である。(証明終)